已知关于 $x$ 的多项式 $a(x+1)^{2}-b(x+1)+c-7$ 的化简结果为 $2x^{2}+5x$ ，则 $a+b+c=$ ___ .

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完整解法

1. 展开并化简左侧的多项式

首先将多项式展开并按照 $x$ 的降幂排列：

\begin{aligned} & a(x+1)^{2}-b(x+1)+c-7 \\ = & a(x^2+2x+1)-b(x+1)+c-7 \\ = & ax^2+2ax+a-bx-b+c-7 \\ = & ax^2+(2a-b)x+(a-b+c-7) \end{aligned}

2. 根据对应项系数相等建立方程组

因为化简结果为 $2x^2+5x$ ，所以对应项的系数相等。由对应系数相等可得方程组：

\begin{cases} a = 2 \\ 2a - b = 5 \\ a - b + c - 7 = 0 \end{cases}

3. 求解 $a, b, c$ 的值并计算 $a+b+c$

由 $a=2$ ，代入第二式得：
$2(2) - b = 5 \implies b = -1$

将 $a=2, b=-1$ 代入第三式得：
$2 - (-1) + c - 7 = 0 \implies 3 + c - 7 = 0 \implies c = 4$

因此：
$a+b+c = 2 + (-1) + 4 = 5$

答案

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