设$i$是虚数单位，复数$z$满足$z⋅(1+2i)^{2}=3+4i$，则$z$在复平面内对应的点在$()$

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

1. 展开并化简复数方程中的乘方部分

首先计算 $(1+2i)^2$：
$(1+2i)^2 = 1 + 4i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$
因此，原方程可化为：
$z \cdot (-3 + 4i) = 3 + 4i$

2. 通过复数的除法运算求出复数 $z$ 的代数形式

由 $z \cdot (-3 + 4i) = 3 + 4i$ 可得：
$z = \frac{3+4i}{-3+4i} = \frac{3+4i}{-(3-4i)} = -\frac{3+4i}{3-4i}$
分子、分母同乘以分母的共轭复数 $3+4i$：
$z = -\frac{(3+4i)^2}{(3-4i)(3+4i)} = -\frac{9 + 24i - 16}{9 + 16} = -\frac{-7 + 24i}{25} = \frac{7}{25} - \frac{24}{25}i$

3. 根据复数的几何意义确定其在复平面内对应点所在的象限

复数 $z = \frac{7}{25} - \frac{24}{25}i$ 在复平面内对应的点的坐标为 $\left(\frac{7}{25}, -\frac{24}{25}\right)$。
因为该点的横坐标大于 $0$，纵坐标小于 $0$，所以该点在第四象限。
故选：D。