已知平面向量 $\vec{a} = (k, 1)$，单位向量 $\vec{e} = (1, 0)$。若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $135^\circ$，求实数 $k$ 的值。

1. 用 $k$ 表示向量 $\vec{a}$ 的模与 $\vec{a} \cdot \vec{e}$ 的数量积

由已知 $\vec{a} = (k, 1)$，$\vec{e} = (1, 0)$，可得：
$\vec{a} \cdot \vec{e} = k \times 1 + 1 \times 0 = k$
$|\vec{a}| = \sqrt{k^2 + 1^2} = \sqrt{k^2 + 1}$
$|\vec{e}| = 1$

2. 代入向量夹角公式并求解实数 $k$

根据向量夹角公式 $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{e}}{|\vec{a}| |\vec{e}|}$，已知 $\theta = 135^\circ$：
$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{k}{\sqrt{k^2 + 1} \times 1}$
因为 $-\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$，所以 $k < 0$。
两边平方得：
$\frac{1}{2} = \frac{k^2}{k^2 + 1}$
$k^2 + 1 = 2k^2 \implies k^2 = 1$
解得 $k = \pm 1$。结合 $k < 0$，舍去 $k = 1$，得 $k = -1$。