两位数相乘：$19×11=209$，$18×12=216$，$34×36=1224$，$25×25=625$，$87×83=7221…(1)$认真观察、分析，以上各式中的因数的十位数与个位数有何关系，因数与积之间有何规律，请用字母将规律表示出来； (2)验证你得到的规律．

1. 观察并分析因数之间数字的关系

观察给出的算式：
$19 \times 11 = 209$,
$18 \times 12 = 216$,
$34 \times 36 = 1224$,
$25 \times 25 = 625$,
$87 \times 83 = 7221$。
分析发现，每一组相乘的两个因数，其十位数字完全相同，而个位数字相加的和为 $10$（即“首同末合十”）。

2. 观察并分析因数与积之间的数量关系规律

进一步分析因数与积之间的关系：
每个乘积的后两位数字，恰好是两个因数个位数字的乘积；
乘积的前面部分，则是因数的十位数字与比它大 $1$ 的数相乘的积（即扩大 $100$ 倍）。
例如在 $34 \times 36 = 1224$ 中，后两位 $24 = 4 \times 6$，前两位 $12 = 3 \times (3 + 1)$。

3. 用字母将上述规律表示出来

设因数的十位数字为 $m$，第一个因数的个位数字为 $n$（其中 $m, n$ 均为 $1$ 到 $9$ 之间的整数）。
根据十进制数的表示法，第一个因数可表示为 $10m + n$，则第二个因数的个位数字为 $10 - n$，可表示为 $10m + (10 - n)$。
它们的乘积按照规律表示为：$100m(m + 1) + n(10 - n)$。
所以，用字母表示该规律的等式为：
$(10m + n)[10m + (10 - n)] = 100m(m + 1) + n(10 - n)$

1. 展开等式左边的整式乘积

要验证等式 $(10m + n)[10m + (10 - n)] = 100m(m + 1) + n(10 - n)$ 是否成立，我们对左边进行整式展开化简：

2. 得出验证结论

因为等式左边展开后得到的代数式为 $100m(m + 1) + n(10 - n)$，恰好等于等式的右边，
即：$\text{左边} = \text{右边}$。
所以，所得的规律 $(10m + n)[10m + (10 - n)] = 100m(m + 1) + n(10 - n)$ 成立，验证完毕。