从抛物线x2=4yx^{2}=4y上一点PP引抛物线准线的垂线,垂足为MM,且∣PM∣=5|PM|=5,设抛物线的焦点为FF,则 △MPF\triangle MPF的面积为___.

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完整解法

1. 确定抛物线的焦点坐标与准线方程

由抛物线方程 x2=4yx^2 = 4y 可得其标准形式为 x2=2pyx^2 = 2py,其中 2p=42p = 4,从而 p=2p = 2。
因此,抛物线的焦点为 F(0,1)F(0, 1),准线方程为 y=−1y = -1。

2. 根据给定距离求出点 $P$ 与 $M$ 的坐标

设点 PP 的坐标为 (x0,y0)(x_0, y_0)。
因为 PMPM 垂直于准线且垂足为 MM,且 ∣PM∣=5|PM| = 5,
所以点 PP 到准线 y=−1y = -1 的距离为 y0−(−1)=y0+1=5y_0 - (-1) = y_0 + 1 = 5,解得 y0=4y_0 = 4。
将 y0=4y_0 = 4 代入抛物线方程 x02=4y0x_0^2 = 4y_0,得 x02=16x_0^2 = 16,即 x0=±4x_0 = \pm 4。
不妨设点 PP 的坐标为 (4,4)(4, 4),则垂足 MM 的坐标为 (4,−1)(4, -1)。

3. 计算 $\triangle MPF$ 的面积

由 P(4,4)P(4, 4) 和 M(4,−1)M(4, -1) 可知,直线 PMPM 的方程为 x=4x = 4。
焦点 F(0,1)F(0, 1) 到直线 PMPM 的距离即为以 PMPM 为底时 △MPF\triangle MPF 的高 hh,则 h=∣4−0∣=4h = |4 - 0| = 4。
因为底边 ∣PM∣=5|PM| = 5,所以 △MPF\triangle MPF 的面积为:
S=12×∣PM∣×h=12×5×4=10S = \frac{1}{2} \times |PM| \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10。

答案

10

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