1. 确定抛物线的焦点坐标与准线方程
由抛物线方程 x2=4y 可得其标准形式为 x2=2py,其中 2p=4,从而 p=2。
因此,抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=−1。
2. 根据给定距离求出点 $P$ 与 $M$ 的坐标
设点 P 的坐标为 (x0,y0)。
因为 PM 垂直于准线且垂足为 M,且 ∣PM∣=5,
所以点 P 到准线 y=−1 的距离为 y0−(−1)=y0+1=5,解得 y0=4。
将 y0=4 代入抛物线方程 x02=4y0,得 x02=16,即 x0=±4。
不妨设点 P 的坐标为 (4,4),则垂足 M 的坐标为 (4,−1)。
3. 计算 $\triangle MPF$ 的面积
由 P(4,4) 和 M(4,−1) 可知,直线 PM 的方程为 x=4。
焦点 F(0,1) 到直线 PM 的距离即为以 PM 为底时 △MPF 的高 h,则 h=∣4−0∣=4。
因为底边 ∣PM∣=5,所以 △MPF 的面积为:
S=21×∣PM∣×h=21×5×4=10。