已知全集 U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},集合 A={2,4,6}A = \{2, 4, 6\},集合 B={1,2,3,4,6}B = \{1, 2, 3, 4, 6\}.
(1) 判断集合 AA 与集合 BB 是否满足包含关系 A⊆BA \subseteq B,并说明理由;
(2) 请根据上述集合的关系,完成下面的 Venn 图,说明元素 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 应填入的对应区域.
UBA

完整解法

(1)

1. 检验集合 A 中的每一个元素是否都在集合 B 中

已知集合 A={2,4,6}A = \{2, 4, 6\},集合 B={1,2,3,4,6}B = \{1, 2, 3, 4, 6\}。
比较两集合的元素可得:2∈B2 \in B,4∈B4 \in B,6∈B6 \in B。即集合 AA 中的每一个元素都是集合 BB 中的元素。

2. 给出结论并说明理由

根据子集与包含关系的定义,集合 AA 与集合 BB 满足包含关系,即 A⊆BA \subseteq B(或 A⊂BA \subset B)。

答案

A⊆BA \subseteq B 成立。理由:集合 AA 中的每个元素 2,4,62, 4, 6 均属于集合 BB。

(2)

1. 确定圆 A 内部区域应填入的元素

圆 AA 内部代表集合 AA 的元素。因为 A={2,4,6}A = \{2, 4, 6\},所以在圆 AA 内部填入元素:2,4,62, 4, 6。

2. 确定圆 B 内部且在圆 A 外部区域应填入的元素

圆 BB 内部且在圆 AA 外部的区域代表属于 BB 但不属于 AA 的元素(即 B∖AB \setminus A)。
计算可得 B∖A={1,2,3,4,6}∖{2,4,6}={1,3}B \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3\}。
故该区域填入元素:1,31, 3。

3. 确定圆 B 外部且在全集 U 内部区域应填入的元素

圆 BB 外部且在矩形框 UU 内部的区域代表属于全集 UU 但不属于 BB 的元素(即补集 CUBC_U B)。
全集 U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\},集合 B={1,2,3,4,6}B = \{1, 2, 3, 4, 6\},则 CUB={5}C_U B = \{5\}。
故该区域填入元素:55。

答案

各区域填入的元素如下:

  • 圆 AA 内部区域:2,4,62, 4, 6
  • 圆 BB 内部且圆 AA 外部的区域:1,31, 3
  • 圆 BB 外部且矩形 UU 内部的区域:55

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