直线$x+2y-6=0$平分圆$C$：$x^{2}-4x+y^{2}-2by+3+b^{2}=0$的周长，过点$P(-1,-b)$作圆$C$的一条切线，切点为$Q$，则$|PQ|=(\quad)$

A. $5$

B. $2\sqrt{6}$

C. $3$

D. $2\sqrt{2}$

1. 将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径

圆 $C$ 的方程为 $x^{2}-4x+y^{2}-2by+3+b^{2}=0$。
配方可得：$(x-2)^{2}+(y-b)^{2}-4-b^{2}+3+b^{2}=0$，
即 $(x-2)^{2}+(y-b)^{2}=1$。
因此，圆 $C$ 的圆心为 $C(2, b)$，半径为 $R=1$。

2. 根据直线平分圆周求出未知数 $b$

因为直线 $x+2y-6=0$ 平分圆 $C$ 的周长，所以该直线必过圆心 $C(2,b)$。
将圆心坐标代入直线方程得：
$2+2b-6=0 \Rightarrow 2b=4 \Rightarrow b=2$。
因此，圆心为 $C(2,2)$，点 $P$ 的坐标为 $P(-1,-2)$。

3. 计算点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离

根据两点间距离公式，点 $P(-1,-2)$ 与圆心 $C(2,2)$ 的距离为：
$|PC| = \sqrt{(-1-2)^{2}+(-2-2)^{2}} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}} = 5$。

4. 利用勾股定理求切线长 $|PQ|$

由切线性质可知，三角形 $PQC$ 是直角三角形，其中 $\angle PQC = 90^\circ$，$|CQ|=R=1$。
由勾股定理可得：
$|PQ| = \sqrt{|PC|^{2}-|CQ|^{2}} = \sqrt{5^{2}-1^{2}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
故选 B。