已知集合 $A = \{x \in \mathbf{N}^* \mid x^2 - 3x - 4 \leqslant 0\}$．
(1) 用列举法写出集合 $A$；
(2) 写出所有满足条件 $\{1\} \subseteq M \varsubsetneq A$ 的集合 $M$．

1. 解一元二次不等式 $x^2 - 3x - 4 \leqslant 0$

因式分解得 $(x - 4)(x + 1) \leqslant 0$，解得 $-1 \leqslant x \leqslant 4$。

2. 根据定义域 $x \in \mathbf{N}^*$ 用列举法写出集合 $A$

因为 $x \in \mathbf{N}^*$（正整数集），所以满足 $-1 \leqslant x \leqslant 4$ 的正整数 $x$ 为 $1, 2, 3, 4$。
因此，用列举法表示集合 $A$ 为 $A = \{1, 2, 3, 4\}$。

1. 分析条件 $\{1\} \subseteq M \varsubsetneq A$ 的含义

由第 (1) 问可知 $A = \{1, 2, 3, 4\}$。
条件 $\{1\} \subseteq M \varsubsetneq A$ 表示集合 $M$ 必须包含元素 $1$，且 $M$ 是 $A$ 的真子集。
因此，$M$ 可以由元素 $1$ 与集合 $\{2, 3, 4\}$ 的真子集组合而成。

2. 穷举符合条件的全部集合 $M$

集合 $\{2, 3, 4\}$ 的真子集有：$\varnothing$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{2, 3\}$, $\{2, 4\}$, $\{3, 4\}$（共 7 个）。
将元素 $1$ 加入上述每个真子集中，得到满足条件的所有集合 $M$ 为：
$\{1\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 4\}$, $\{1, 2, 3\}$, $\{1, 2, 4\}$, $\{1, 3, 4\}$。