对于实数$x$，$y$我们定义一种新运算$L(x,y)=ax+by($其中$a$，$b$均为非零常数$)$，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为$L(x,y)$，其中$x$，$y$叫做线性数的一个数对.若实数$x$，$y$都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的$x$，$y$叫做正格线性数的正格数对． (1)若$L(x,y)=x+3y$，则$L(2,1)=$ ___ ，$L( \dfrac {3}{2}, \dfrac {1}{2})=$ ___ ； (2)已知$L(1,-2)=-1$，$L( \dfrac {1}{3}, \dfrac {1}{2})=2$． $①a=$ ___ ，$b=$ ___ ； $②$若正格线性数$L(m,m-2)$，求满足$50 < L(m,m-2) < 100$的正格数对有多少个； $③$若正格线性数$L(x,y)=76$，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题$②$的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．

1. 计算 $L(2, 1)$ 的值

将 $x=2, y=1$ 代入 $L(x,y)=x+3y$ 中，得：
$L(2,1) = 2 + 3 \times 1 = 5$

2. 计算 $L(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2})$ 的值

将 $x=\dfrac{3}{2}, y=\dfrac{1}{2}$ 代入 $L(x,y)=x+3y$ 中，得：
$L\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} + 3 \times \dfrac{1}{2} = 3$

1. 根据已知条件列出关于 $a$，$b$ 的二元一次方程组

由题意 $L(x,y)=ax+by$，$L(1,-2)=-1$，$L\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right)=2$，得：
$\begin{cases} a - 2b = -1 \\ \dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{2}b = 2 \end{cases}$

2. 解二元一次方程组求出 $a$ 和 $b$ 的值

由第一个方程得 $a = 2b - 1$。
代入第二个方程得：
$\dfrac{1}{3}(2b - 1) + \dfrac{1}{2}b = 2 \implies \dfrac{2}{3}b - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}b = 2$
$\dfrac{7}{6}b = \dfrac{7}{3} \implies b = 2$
将 $b=2$ 代入 $a=2b-1$ 得 $a=3$。
所以方程组的解为：
$\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

1. 用含有 $m$ 的代数式表示 $L(m, m-2)$

由（1）求得 $a=3, b=2$，则：
$L(m, m-2) = 3m + 2(m-2) = 5m - 4$

2. 根据不等关系列出关于 $m$ 的不等式组并求解范围

根据 $50 < L(m,m-2) < 100$，可得：
$50 < 5m - 4 < 100$
解得：
$\dfrac{54}{5} < m < \dfrac{104}{5}$ 即 $10.8 < m < 20.8$

3. 结合正格数对的定义确定满足条件的正整数 $m$ 的个数

因为 $L(m, m-2)$ 为正格线性数，所以其数对 $x=m$ 和 $y=m-2$ 都必须是正整数。
因此 $m$ 和 $m-2$ 均为正整数，从而 $m \ge 3$ 且 $m$ 为整数。
在范围 $10.8 < m < 20.8$ 内的整数 $m$ 有：
$11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$
共 $10$ 个。所以满足条件的正格数对有 $10$ 个。

1. 写出 $L(x,y)=76$ 的方程并用 $x$ 表示 $y$

由 $L(x,y)=3x+2y=76$，变形得：
$2y = 76 - 3x \implies y = 38 - \dfrac{3}{2}x$

2. 结合正整数约束求解所有正格数对 $(x,y)$ 的个数

因为 $x$，$y$ 均为正整数，所以 $y > 0$，即：
$38 - \dfrac{3}{2}x > 0 \implies x < 25\dfrac{1}{3}$
又因为 $y = 38 - \dfrac{3}{2}x$ 必须为正整数，所以 $x$ 必须为偶数。
因此，正整数 $x$ 可以取 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24$，共 $12$ 个。
所以满足这样的正格数对共有 $12$ 个。

3. 探究是否存在满足问题②的数对

若数对同时满足问题②的形式，则数对必须满足 $y = x - 2$ 这一关系。
将 $y = x - 2$ 代入 $3x + 2y = 76$ 中，得：
$3x + 2(x - 2) = 76$
解得：
$5x = 80 \implies x = 16$
将 $x=16$ 代入 $y=x-2$ 得 $y=14$。
因为 $16$ 和 $14$ 都是正整数，且 $m=16$ 满足问题②中 $10.8 < m < 20.8$ 的范围限制，
所以这些数对中有满足问题②的数对，为 $\begin{cases} x=16 \\ y=14 \end{cases}$。