符号“$\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|$”称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|=ad-bc.$请你根据上述规定求出等式$\left|\begin{array}{cc}2&1\\ \dfrac{1}{1-x}&\dfrac{1}{x-1}\end{array}\right|=1$中$x$的值．

1. 根据二阶行列式的运算法则，将给定的行列式等式转化为分式方程

根据定义 $\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right|=ad-bc$，将原式展开得：
$2 \times \dfrac{1}{x-1} - 1 \times \dfrac{1}{1-x} = 1$
即：
$\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{1}{1-x} = 1$

2. 对分式方程进行变形通分，化简方程

利用分式性质，由于 $1-x = -(x-1)$，方程可化为：
$\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{x-1} = 1$
合并同分母分式得：
$\dfrac{3}{x-1} = 1$

3. 求解分式方程并进行验根

方程两边同乘以 $(x-1)$，得：
$3 = x - 1$
解得：
$x = 4$
检验：当 $x = 4$ 时，最简公分母 $x - 1 = 3 \neq 0$，因此 $x = 4$ 是原方程的解。