若$\triangle ABC$的三边$a$、$b$、$c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}+338=10a+24b+26c$，则此$\triangle$为$()$

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 不能确定

1. 将原等式移项并利用乘法公式进行配方

已知等式为：
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+338=10a+24b+26c$
移项得：
$a^{2}-10a+b^{2}-24b+c^{2}-26c+338=0$
将常数 $338$ 拆分为 $25+144+169$，整理并配方得：
$(a^{2}-10a+25)+(b^{2}-24b+144)+(c^{2}-26c+169)=0$
即：
$(a-5)^{2}+(b-12)^{2}+(c-13)^{2}=0$

2. 利用平方的非负性求出三边 $a, b, c$ 的值

由于实数的平方具有非负性，即 $(a-5)^{2} \geqslant 0$，$(b-12)^{2} \geqslant 0$，$(c-13)^{2} \geqslant 0$。
三个非负数之和等于 $0$，则每一项必须都为 $0$：
$a-5=0 \implies a=5$
$b-12=0 \implies b=12$
$c-13=0 \implies c=13$

3. 利用勾股定理逆定理判定三角形形状

在 $\triangle ABC$ 中，三边长分别为 $a=5$，$b=12$，$c=13$。
因为：
$a^{2}+b^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169$
$c^{2}=13^{2}=169$
所以 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形。
因此，正确答案为 C。