若角$α$的终边经过点$P(a,2a)(a < 0)$，则$\cos α=$ ___ ．

1. 计算终边上点 $P$ 到原点的距离 $r$

已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(a, 2a)$，其中 $a < 0$。
根据两点间距离公式，点 $P$ 到原点的距离为：
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}|a|$
由于 $a < 0$，可得 $|a| = -a$，因此：
$r = -\sqrt{5}a$

2. 利用任意角三角函数的定义求出余弦值

根据任意角三角函数的定义，余弦值 $\cos \alpha = \frac{x}{r}$。
将 $x = a$，$r = -\sqrt{5}a$ 代入可得：
$\cos \alpha = \frac{a}{-\sqrt{5}a} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$