已知函数$g(x)=\cos x+\sin x$，$h(x)=\sin(x+\dfrac{π}{2})+\sin(x+π).$设函数$f(x)=g(x-\dfrac{π}{6})h(x-\dfrac{π}{6})$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\quad)$

A. $[kπ-\dfrac{π}{3},kπ+\dfrac{π}{6}](k\in Z)$

B. $[kπ+\dfrac{5π}{12},kπ+\dfrac{11π}{12}](k\in Z)$

C. $[kπ-\dfrac{π}{12},kπ+\dfrac{5π}{12}](k\in Z)$

D. $[kπ+\dfrac{π}{6},kπ+\dfrac{2π}{3}](k\in Z)$

1. 利用诱导公式化简 $h(x)$ 并求出 $g(x)h(x)$ 的解析式

根据三角函数的诱导公式，有：
$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x$
$\sin(x+\pi) = -\sin x$
代入 $h(x)$ 可得：
$h(x) = \cos x - \sin x$
因此，两函数相乘为：
$g(x)h(x) = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
利用二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$，得：
$g(x)h(x) = \cos 2x$

2. 将 $x-\dfrac{\pi}{6}$ 代入求出 $f(x)$ 的解析式

由 $f(x) = g\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)h\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$，得：
$f(x) = \cos\left(2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

3. 求 $f(x)$ 的单调递增区间并确定选项

余弦函数 $y = \cos u$ 的单调递增区间为 $[2k\pi-\pi, 2k\pi] (k\in\mathbb{Z})$。
令：
$2k\pi-\pi \le 2x-\dfrac{\pi}{3} \le 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$
解该不等式，解得：
$k\pi-\dfrac{\pi}{3} \le x \le k\pi+\dfrac{\pi}{6}, \quad k\in\mathbb{Z}$
故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi-\dfrac{\pi}{3}, k\pi+\dfrac{\pi}{6}\right] (k\in\mathbb{Z})$。
对应选项 A。