一共100人参加了某个艺术比赛，比赛分为三场，分别考察参赛者歌唱、素描、跳舞的能力. 涂涂在歌唱比赛中得了第37名，在素描中得了第14名，在跳舞比赛中得了第27名，并且涂涂在三场比赛中没有与任何人并列（每门考试的满分不一定是100分）. 最后的总名次是将三次考试的分数相加，从高到低排列后得到的. 如果我们用第 $A$ 名表示涂涂可能得到的最好总名次($A$越小表示总名次越好)，用第 $B$ 名表示涂涂可能得到的最差总名次，则 $100A + B =$ ___ .

1. 分析单科成绩高于涂涂的人员集合大小

设参加比赛的100人为集合 $S$（包含了涂涂及其他99人）。
根据题意，在三场比赛中得分高于涂涂的人员集合分别为：

• 歌唱比赛中排名在涂涂前面的人数为 $37 - 1 = 36$ 人，记此集合为 $U_1$，则 $|U_1| = 36$；
• 素描比赛中排名在涂涂前面的人数为 $14 - 1 = 13$ 人，记此集合为 $U_2$，则 $|U_2| = 13$；
• 跳舞比赛中排名在涂涂前面的人数为 $27 - 1 = 26$ 人，记此集合为 $U_3$，则 $|U_3| = 26$。

若某人在总分上能够超过涂涂，则该人必须至少在某一门比赛中的得分高于涂涂。因此，可能在总分上超过涂涂的人只能来自于集合 $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ 中的元素。

2. 确定涂涂可能得到的最好总名次 $A$

为了使涂涂的总名次最好，我们需要让尽可能少的人总分超过涂涂。
由于 $U_1, U_2, U_3$ 可以相互无交集（因为 $|U_1| + |U_2| + |U_3| = 36 + 13 + 26 = 75 \le 99$），且每门考试的分数分配可以任意设定：
例如，假设涂涂每门得分均为 $100$ 分，总分 $300$ 分；
对于属于 $U_1$ 的人，其歌唱得 $105$ 分，但素描和跳舞得分均接近 $0$ 分，总分约为 $105 < 300$；
同理，属于 $U_2$ 和 $U_3$ 的人各自仅在单科略高于 $100$ 分，其余科目得分极低，总分均小于 $300$ 分；
不在 $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ 中的人三科得分均低于 $100$ 分，总分必然小于 $300$ 分。
在此构造下，没有任何人的总分能超过涂涂，故涂涂可以取得第 $1$ 名。
因此，最好总名次 $A = 1$。

3. 确定涂涂可能得到的最差总名次 $B$

为了使涂涂的总名次最差，我们需要让尽可能多的人总分超过涂涂。
能超过涂涂的人数最多为集合 $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ 的元素个数。
由容斥原理可知：
$|U_1 \cup U_2 \cup U_3| \le |U_1| + |U_2| + |U_3| = 36 + 13 + 26 = 75$
当 $U_1, U_2, U_3$ 两两互不相交时，共有 $75$ 人可能超过涂涂。
可以通过调整各科分值实现这 $75$ 人的总分均高于涂涂（例如：设涂涂每科得 $100$ 分，总分 $300$ 分；$U_1$ 中每个人歌唱得 $301$ 分，其余两科得 $0$ 分，总分 $301 > 300$；$U_2, U_3$ 同理）。
不在 $U_1 \cup U_2 \cup U_3$ 中的人三科成绩均低于涂涂，总分不可能超过涂涂。
因此，最多有 $75$ 人的总分高于涂涂，涂涂的最差总名次为第 $75 + 1 = 76$ 名，即 $B = 76$。

4. 计算 $100A + B$ 的值

将 $A = 1$ 与 $B = 76$ 代入目标式：
$100A + B = 100 imes 1 + 76 = 176$