The roots of the quadratic equation $x^2 - 8x + k = 0$ are $\alpha$ and $\beta$. Given that $\alpha - \beta = 2$, find the value of the constant $k$.

1. 根据二次方程写出两根之和与两根之积

对于一元二次方程 $x^2 - 8x + k = 0$，由根与系数的关系（韦达定理）可得：
$\alpha + \beta = 8$
$\alpha \beta = k$

2. 联立方程求解两根 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值

已知 $\alpha - \beta = 2$，与 $\alpha + \beta = 8$ 联立组成方程组：
$\begin{cases} \alpha + \beta = 8 \\ \alpha - \beta = 2 \end{cases}$
两式相加得 $2\alpha = 10 \implies \alpha = 5$。
两式相减得 $2\beta = 6 \implies \beta = 3$。

3. 计算常数 $k$ 的值

将 $\alpha = 5$ 和 $\beta = 3$ 代入两根之积的表达式：
$k = \alpha \beta = 5 \times 3 = 15$