已知双曲线$C$：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，点$M$在双曲线$C$上，点$I$为$\triangle MF_{1}F_{2}$的内心，且$S_{\triangle IMF_{1}}+S_{\triangle IMF_{2}}=S_{\triangle IF_{1}F_{2}}$，$|MF_{1}|=2|MF_{2}|$，则双曲线$C$的离心率为$(\quad)$

A. $\dfrac{3}{2}$

B. $2$

C. $3$

D. $2\sqrt{3}-1$

1. 利用三角形内心性质与面积关系推导边长关系式

设 $\triangle MF_1F_2$ 的内切圆半径为 $r$ ($r > 0$)。
因为点 $I$ 为 $\triangle MF_1F_2$ 的内心，所以点 $I$ 到 $\triangle MF_1F_2$ 的三边 $MF_1, MF_2, F_1F_2$ 的距离均等于内切圆半径 $r$。
根据三角形面积公式，各小三角形的面积分别为：
$S_{\triangle IMF_1} = \dfrac{1}{2} r |MF_1|$
$S_{\triangle IMF_2} = \dfrac{1}{2} r |MF_2|$
$S_{\triangle IF_1F_2} = \dfrac{1}{2} r |F_1F_2|$

已知 $S_{\triangle IMF_1} + S_{\triangle IMF_2} = S_{\triangle IF_1F_2}$，
代入可得：$\dfrac{1}{2} r |MF_1| + \dfrac{1}{2} r |MF_2| = \dfrac{1}{2} r |F_1F_2|$。
由于 $r > 0$，等式两边同除以 $\dfrac{1}{2}r$ 得：
$|MF_1| + |MF_2| = |F_1F_2| = 2c$。

2. 结合双曲线的定义求出 $M$ 点到两焦点的距离

因为点 $M$ 在双曲线 $C$ 上，且 $|MF_1| = 2|MF_2| > |MF_2|$，所以点 $M$ 在双曲线的右支上。
由双曲线的定义，得：
$|MF_1| - |MF_2| = 2a$

将已知条件 $|MF_1| = 2|MF_2|$ 代入上式中，得：
$2|MF_2| - |MF_2| = 2a \implies |MF_2| = 2a$
从而可得：
$|MF_1| = 2|MF_2| = 4a$。

3. 联立方程求解双曲线的离心率

将 $|MF_1| = 4a$ 和 $|MF_2| = 2a$ 代入第一步中求得的关系式 $|MF_1| + |MF_2| = 2c$ 中，得：
$4a + 2a = 2c \implies 6a = 2c \implies c = 3a$

因此，双曲线的离心率为：
$e = \dfrac{c}{a} = 3$。

所以正确选项为 C。（注：部分原题参考答案由于计算错误 $2|MF_2| - |MF_2| = 2a \implies |MF_2| = a$ 而误选了 A，正确计算应为 C）