【能6】自然数 $A$ 恰有21个不同因数（整除 $A$ 的正整数），那么 $A$ 的最小值 = ___ .

1. 根据因数个数公式分析 $A$ 的质因数指数可能的形式

设 $A$ 的标准质因数分解式为 $A = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中 $p_1, p_2, \dots, p_k$ 为互不相同的质数，$a_1, a_2, \dots, a_k$ 为正整数。
根据因数个数公式，正整数 $A$ 的因数个数为：
$d(A) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1) = 21$
将 $21$ 分解为大于 $1$ 的整数乘积，有以下两种情形：

1. $21 = 21$（包含 $1$ 个质因数）
2. $21 = 7 imes 3$（包含 $2$ 个质因数）

2. 分别计算不同情形下 $A$ 的最小值并对比得出答案

情形一：若 $a_1 + 1 = 21$，则 $a_1 = 20$，即 $A = p_1^{20}$。
要使 $A$ 最小，应取最小的质数 $p_1 = 2$，此时：
$A = 2^{20} = 1048576$

情形二：若 $(a_1 + 1)(a_2 + 1) = 7 imes 3$，则指数分别为 $a_1 = 6, a_2 = 2$。
即 $A = p_1^6 imes p_2^2$。
要使 $A$ 最小，应将较大的指数分配给较小的质数，即取 $p_1 = 2, p_2 = 3$，此时：
$A = 2^6 imes 3^2 = 64 imes 9 = 576$

综合两种情形，对比可得 $A$ 的最小值为 $576$。