已知命题p:sin⁡x=12p:\sin x= \dfrac {1}{2},命题q:x=π6+2kπ,k∈Zq:x= \dfrac {π}{6}+2kπ,k∈Z,则pp是qq的()()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

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完整解法

1. 分析由命题 $p$ 能否推出命题 $q$

若命题 pp 成立,即 sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2},根据正弦函数的性质,可得 x=π6+2kπx = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi 或 x=5π6+2kπx = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})。
因此,由 sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2} 推不出 x=π6+2kπx = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}),即 p\centernot  ⟹  qp \centernot\implies q。

2. 分析由命题 $q$ 能否推出命题 $p$

若命题 qq 成立,即 x=π6+2kπx = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}),根据诱导公式有:
sin⁡x=sin⁡(π6+2kπ)=sin⁡π6=12\sin x = \sin\left(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}。
因此,由 qq 能推出 pp,即 q  ⟹  pq \implies p。

3. 根据充分条件、必要条件的定义得出结论

由于 q  ⟹  pq \implies p 且 p\centernot  ⟹  qp \centernot\implies q,根据充分必要条件的定义, pp 是 qq 的必要不充分条件。
故选 B。

答案

B

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