（浙江·高考真题）已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹. $l$ 是过点 $Q(-1,0)$ 的直线，$M$ 是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点；$A, B$ 在 $l$ 上，$M A \perp l$，$M B \perp x$ 轴（如图）.

1. 根据抛物线定义建立轨迹方程

设曲线 $C$ 上任意一点的坐标为 $(x, y)$。
根据题意，点 $(x, y)$ 到点 $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$ 的距离等于到直线 $y = -\frac{5}{8}$ 的距离。
由距离公式可得：
$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{8}\right)^2} = \left|y + \frac{5}{8}\right|$

2. 化简方程得到曲线 $C$ 的标准形式

将方程两边平方得：
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{8}\right)^2 = \left(y + \frac{5}{8}\right)^2$
展开并整理：
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - \frac{3}{4}y + \frac{9}{64} = y^2 + \frac{5}{4}y + \frac{25}{64}$
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 2y + \frac{1}{4}$
$x^2 + x + \frac{1}{4} = 2y + \frac{1}{4}$
整理得曲线 $C$ 的方程为 $x^2 + x - 2y = 0$（或 $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x$）。

1. 设出直线 $l$ 的方程并表示出 $|QB|^2$

易知 $Q(-1,0)$ 在曲线 $C$ 上。若直线 $l$ 的斜率不存在，即 $l: x = -1$，则动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $x_0 \neq -1$，此时直线 $MB$ 与 $l$ 平行无交点，不合题意。故直线 $l$ 的斜率存在。
设直线 $l$ 的方程为 $y = k(x+1)$，即 $kx - y + k = 0$。
设动点 $M$ 的坐标为 $\left(x_0, \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2}x_0\right)$（其中 $x_0 \neq -1$）。
因为 $MB \perp x$ 轴且 $B$ 在直线 $l$ 上，所以 $B$ 的坐标为 $(x_0, k(x_0+1))$。
因此：
$|QB|^2 = (x_0 - (-1))^2 + (k(x_0+1) - 0)^2 = (1+k^2)(x_0+1)^2$

2. 利用向量投影表示出线段 $|QA|$ 的长度

因为 $MA \perp l$，点 $A$ 为点 $M$ 在直线 $l$ 上的正投影，且 $Q, A, B$ 均在直线 $l$ 上。
向量 $\overrightarrow{QM} = \left(x_0+1, \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2}x_0\right) = (x_0+1)\left(1, \frac{1}{2}x_0\right)$。
直线 $l$ 的单位方向向量为 $\vec{u} = \frac{(1, k)}{\sqrt{1+k^2}}$。
所以 $|QA|$ 的长度等于向量 $\overrightarrow{QM}$ 在直线 $l$ 上的投影长度：
$|QA| = |\overrightarrow{QM} \cdot \vec{u}| = \frac{\left|(x_0+1)\cdot 1 + \left(\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{1}{2}x_0\right)\cdot k\right|}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{|x_0+1| \cdot \left|1 + \frac{1}{2}kx_0\right|}{\sqrt{1+k^2}}$

3. 计算比值表达式，利用常数条件求出斜率 $k$ 及直线方程

将 $|QB|^2$ 和 $|QA|$ 代入比值表达式得：
$\frac{|QB|^2}{|QA|} = \frac{(1+k^2)(x_0+1)^2}{\frac{|x_0+1| \cdot \left|1 + \frac{1}{2}kx_0\right|}{\sqrt{1+k^2}}} = (1+k^2)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{|x_0+1|}{\left|1 + \frac{1}{2}kx_0\right|}$
要使 $\frac{|QB|^2}{|QA|}$ 对任意 $x_0 \neq -1$ 恒为常数，当且仅当 $\frac{|x_0+1|}{\left|1 + \frac{1}{2}kx_0\right|}$ 与 $x_0$ 无关。
改写分母：$1 + \frac{1}{2}kx_0 = \frac{1}{2}k\left(x_0 + \frac{2}{k}\right)$。
要使分母与分子中的 $(x_0+1)$ 成比例，必须有 $\frac{2}{k} = 1$，解得 $k = 2$。
当 $k = 2$ 时，$\left|1 + \frac{1}{2}kx_0\right| = |x_0 + 1|$，化简得比值 $\frac{|QB|^2}{|QA|} = (1+2^2)^{\frac{3}{2}} = 5\sqrt{5}$ 为常数。
故直线 $l$ 的方程为 $y = 2(x+1)$，即 $2x - y + 2 = 0$。