考虑以下关于质数和合数的表达式：$P(k) = k^2 - k + 11$
(a) 分别计算当 $k = 1, 2, 3, 11$ 时 $P(k)$ 的值，并指出它们分别是质数还是合数。
(b) 结合 (a) 的结果，解释为什么“$1$ 既不是质数也不是合数”对于判断 $P(1)$ 的性质至关重要，并阐明为什么我们不能通过前几项的规律断定 $P(k)$ 对于所有正整数 $k$ 的值都是质数。

1. 分别计算当 $k = 1, 2, 3, 11$ 时 $P(k)$ 的代数式值

将各 $k$ 的值分别代入表达式 $P(k) = k^2 - k + 11$ 进行计算：

• 当 $k = 1$ 时，$P(1) = 1^2 - 1 + 11 = 11$
• 当 $k = 2$ 时，$P(2) = 2^2 - 2 + 11 = 4 - 2 + 11 = 13$
• 当 $k = 3$ 时，$P(3) = 3^2 - 3 + 11 = 9 - 3 + 11 = 17$
• 当 $k = 11$ 时，$P(11) = 11^2 - 11 + 11 = 121 - 11 + 11 = 121$

2. 判断各计算结果是质数还是合数

根据质数与合数的定义判定：

• $P(1) = 11$：正整数 $11$ 大于 1，且只有 1 和 11 两个正因数，因此是质数。
• $P(2) = 13$：正整数 $13$ 大于 1，且只有 1 和 13 两个正因数，因此是质数。
• $P(3) = 17$：正整数 $17$ 大于 1，且只有 1 和 17 两个正因数，因此是质数。
• $P(11) = 121$：除了 1 和 121 之外，还有因数 11（因为 $121 = 11 imes 11$），因此是合数。

1. 解释“1既不是质数也不是合数”对判断 $P(1)$ 的作用，并说明反例对推翻归纳结论的重要性

1. 对 $P(1)$ 性质判断的解释： $P(1)$ 的性质取决于计算出的值 $11$ 本身（$11$ 是质数），与代入的自变量 $k=1$ 的分类性质无关。强调“1既不是质数也不是合数”澄清了自变量 $k=1$ 本身不具有质数或合数的属性，促使我们必须根据结果 $11$ 的因数特征来进行独立判断。
2. 对不能断定对所有正整数成立的解释： 仅凭 $k=1, 2, 3$ 时算出的 $P(k)$ 均为质数属于“不完全归纳”。在数学中，有限项的特例不能代替证明，只要存在一个反例就可以推翻猜想。在 (a) 中，当 $k=11$ 时，$P(11) = 121 = 11 imes 11$ 是一个合数，这个反例说明了 $P(k)$ 并不对所有正整数 $k$ 都产生质数。