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样本均值随机变量

样本均值 Xˉ\bar{X} 作为随机变量的概念，其中 E(Xˉ)=μ\mathrm{E}(\bar{X})=\mu 且 Var(Xˉ)=σ2n\mathrm{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}。

这个知识点的练习题

  1. 1在一项实验中，记录了 1 kg 冰块在 7 种预设温度 θ∘C\theta^\circ\text{C} 下完全融化所需的时间 TT 分钟，如下表所示。 艾伯特（Albert）分析了这些数据并得出以下结论： 积矩相关系数，r=−0.88316r = -0.88316…
  2. 2道格先生的工厂生产在当地超市销售的袋装面粉，包装分为两种规格——普通装和大装。自动机器进行称重和包装。最近一次严重的停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装袋装面粉的平均质量应该是 1 kg。道格先生怀疑他的机器现在包装的普…
  3. 3SS 和 TT 是独立的随机变量，分别服从分布 N(18,32)N(18,3^2) 和 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)。已知 P(T<4)=P(T>9)P(T<4)=P(T>9) 且 P(S<3T)=0.65P(S<3T)=0.65。求 μ\mu 和 σ\sigma 的值。 一个水…
  4. 4在本题中，你应该清楚地写出你所使用的所有分布，以及相应参数的值。 一杯芝士茶由两种原料调制而成：奶盖和茶。调配芝士茶的咖啡师在将奶盖或茶倒入杯中后，不得将其取出。由一名经验丰富的咖啡师制作的一杯芝士茶中，奶盖和茶的量（以 ml 为单…
  5. 5捕鱼公司 A 有两种类型的渔船：“标准”船和“大型”船。在一次典型的捕鱼航行中，各渔船捕获的鱼量呈正态分布，其均值和标准差如表所示。 | | 均值 (kg) | 标准差 (kg) | |---|---|---| | 标准 | 300 | σ\sigma…
  6. 6在训练中，一名士兵拆卸某类装备所需的时间（以秒为单位）是一个服从正态分布的连续随机变量 TT。TT 的标准差为 3.5，期望值为 35.1。在引入一套新的教学材料后，随机抽取了 nn 名士兵，发现这组士兵拆卸该装备的平均时间为 tˉ\bar{t}…
  7. 7Pat 获邀参加一个游戏节目。在游戏中，她面前有一个装有 kk 个球的盒子，每个球上都印有 1、2、3 或 4 中的一个数字。摸到印有数字 ii 的球的概率是 ik\frac{i}{k}，其中 i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4。每次摸出…
  8. 8在本题中，你应该写明你所使用的任何分布的参数。 一个果园销售两种品种的奇异果：A型和B型。A型和B型奇异果的质量（以克为单位）分别服从分布 N(110,62)N(110,6^2) 和 N(85,82)N(85,8^2)。假设这两个分布是相互独立的。 奇异果被随机选择…
  9. 9历史数据表明，欧洲足球锦标赛中每场比赛的进球数均值为 1.93，方差为 1.4。抽取一个由 nn 场比赛组成的大容量随机样本。求最小的 nn 值，使得每场比赛平均进球数超过 2 个的概率小于 0.24。
  10. 10爱丽丝使用计算机程序模拟抛掷一枚非均匀硬币 80 次。令 YY 为表示获得正面朝上次数的随机变量，pp 为获得正面朝上的概率。已知 80+E(Y)=6 Var(Y)。80 + E(Y) = 6\,\mathrm{Var}(Y)。 求 pp 的准确值。 已知前 5…
  11. 11在大减价期间，男士和女士在各自试衣间的等待时间（以分钟为单位）的均值分别为 4.2 和 8.5，标准差分别为 1.6 和 2.2。 商场经理希望确保随机选取的 50 名女士在试衣间的平均等待时间超过 kk 分钟的概率最多为 10%。求…
  12. 12Dough 先生的工厂生产在当地超市销售的面粉，分为两种包装尺寸——普通装和大装。自动机器对面粉进行称重和包装。最近一次大停电导致他所有的机器在重新启动时都需要重新校准。 普通装面粉的平均质量应该为 1 kg。Dough 先生怀疑他的机器现…
  13. 13根据长期观察，格里夫斯初级学院（GJC）男生完成 2.4 公里跑步的平均时间已知为 11.3 分钟，标准差为 2.2 分钟。作为对当前体能训练计划评估的一部分，GJC 的体育（PE）部门决定在 2.5% 的显著性水平下测试 GJC 男生完成…
  14. 14在一个小镇上，有两家诊所，李氏诊所（Lee's Clinic）和希望诊所（Hope Clinic）。在李氏诊所，患者的等待时间服从均值为 25 分钟、标准差为 8 分钟的正态分布。希望诊所患者的等待时间服从均值为 37 分钟、标准差为 4…
  15. 15一家工厂制造由安装在木质底座上的玻璃组成的镇纸。随机挑选的镇纸中玻璃的体积（以 cm3\text{cm}^3 为单位）服从均值为 56.5、标准差为 2.9 的正态分布。木质底座的体积（以 cm3\text{cm}^3 为单位）服从独立的正态分…
  16. 16在本题中，你应该清晰地写出你使用的所有分布，以及相应参数的值。 当地的一家超市销售两种土豆：褐土豆（Russet potatoes）和荷兰土豆（Holland potatoes）。褐土豆的质量（以克为单位）服从分布 N(200,302)\mathrm{N}(200, 30^2)…
  17. 17申请帝国大学（Kingdom University）和海岛大学（Island University）的学生需要使用他们的国家考试成绩进行申请。两所大学意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如下表所示。 | | 平均成绩…
  18. 18一轮游戏是通过沿着如下图所示的网格线，将棋子从起点 XX 随机移动到终点 AA 至 EE 中的一个来进行的。 * 棋子只能沿着网格线向上或向右移动。 * 在离开 XX 后的每一步移动中，玩家随机将棋子向右移动的概率为 pp，向上移…
  19. 19渔业公司 A 拥有两种型号的渔船：“标准型”渔船和“大型”渔船。在一次典型的出海捕鱼中，各型号渔船的捕鱼量均服从正态分布，其均值和标准差如表所示。 如果一艘标准型渔船返航时的捕鱼量超过 400kg，则被称为“丰收”。丰收的概率为 8%。证明…
  20. 20申请入读王国大学（Kingdom University）和岛屿大学（Island University）的学生必须使用其全国考试成绩。各大学的意向申请者的成绩可以用独立的正态分布来建模，其均值和标准差如表中所示。 王国大学只录取前 30%…
  21. 21从均值为 μ\mu、方差为 10 的总体中抽取了一个包含 nn 个观测值的样本。求所需的最小样本容量，使得样本均值介于 μ−0.5\mu - 0.5 和 μ+0.5\mu + 0.5 之间的概率大于 0.89。写出为了进行此计算而必须做出的一个假设…
  22. 22一家保险公司宣称，汽车保险理赔的平均支付金额为 $10 000。审计员检查了 25 个理赔案件的随机样本，并记录了每个案件的支付金额。支付金额 $ xx 汇总如下： ∑(x−10 000)=−6560and∑(x−10 000)2=7 493 500.\sum(x - 10\ 000) = -6560 \quad \text{and} \quad \sum(x - 10\ 000)^2 = 7\ 493\ 500.…