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将 y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x)、y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)|、y=f(∣x∣)y = \mathrm{f}(|x|) 和 y=1f(x)y = \dfrac{1}{\mathrm{f}(x)} 的图像与 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像进行关联。

这个知识点的练习题

  1. 15 (a) 求解下列积分。 ∫1−2x3+2x−x2 dx.\displaystyle\int \frac{1-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}\,\mathrm{d}x. ∫xln⁡(2−x2) dx\displaystyle\int x\ln\left(2-x^2\right)\,\mathrm{d}x…
  2. 2在同一幅图中，画出 y=∣2x+3∣y = |2x + 3| 和 y=−2x2−8x−3y = -2x^2 - 8x - 3 的图像。 （你不需要标出任何轴交点和驻点。） 精确求解不等式 ∣2x+3∣>−2x2−8x−3|2x + 3| > -2x^2 - 8x - 3。
  3. 3图中给出了 y=f(∣x∣)y = \mathrm{f}(|x|) 和 y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x) 的图像。 y=f(∣x∣)y = \mathrm{f}(|x|) 的图像在 (−3,4)(-3, 4) 和 (3,4)(3, 4) 处有转折点，交 xx 轴于 (−2,0)(-2, 0)…
  4. 4函数 y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像在 (2,3)(2,3) 处有一个极大值转折点，且经过原点。直线 x=−1x = -1 和 y=2y = 2 是该图像的渐近线，如下图所示。 求使 y=1f(x)y = \frac{1}{\text{f}(x)}…
  5. 5在同一个图上，画出满足下列条件的 y=∣2x−p∣y = |2x - p| 和 y=qxy = qx 的图像草图，标出轴交点。 * pp 和 qq 是常数，p>1p > 1 且 q>0q > 0，以及 * 图像仅有一个交点。 写出 qq 的最小值。 解不…
  6. 6求方程 ∣4x−5x−2∣=3x\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x 的精确根。 在同一坐标系中，画出方程为 y=∣4x−5x−2∣y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right| 和 y=3xy = 3x 的曲线草图。并由此求不…
  7. 7函数 f 定义为 f(x)=ln⁡(5−x),  x<5f(x)=\ln(5-x),\; x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。 写出使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)| 成立的…
  8. 8下图显示了 0lex<2a0 \\le x < 2a 时 y=f(x)y = f(x) 的部分图像草图。垂直渐近线 x=2ax = 2a 也是该图像的一条对称轴。 在不同的示意图中，分别画出下列函数的图像草图： (i) 当 0≤x≤4a0 \le x \le 4a 时的…
  9. 9函数 ff 和 gg 的定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f: x \mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x \in \mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g: x \mapsto x-2,\quad x \in \mathbb{R}\text{ 且 }x \ge -1.…
  10. 10函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦5+2x\mathrm{f} : x \mapsto \sqrt{5+2x}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R} 且 x>−52x > -\frac{5}{2}。 求满足 f2(a)=5\mathrm{f}^2(a) = 5…
  11. 11图中显示了 y=f(x)y = f(x) 的图像，其渐近线为 y=ky = k 和 x=0x = 0，且图像与 x 轴相交于 (a,0)(a,0)。 在不同的图上，画出下列函数的图像，并给出所有渐近线的方程以及曲线与 x 轴和 y 轴交点的坐标。 画出 y=1f(x)y = \dfrac{1}{f(x)}…
  12. 12曲线 C 的方程为 y=f(x)y = f(x)，其中 f(x)=2(x−1)2x−3f(x) = \frac{2(x-1)^2}{x-3}。 草拟 C 的图像，并清晰地标出渐近线方程、任何驻点的坐标以及与坐标轴的交点。 在另一张图上草拟 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像。…
  13. 13已知 f(x)={12x2,for 1≤x<2,14(−3x+14),for 2≤x<4,f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{2}x^2, & \text{for } 1 \le x < 2, \\ \tfrac{1}{4}(-3x+14), & \text{for } 2 \le x < 4, \end{cases}…
  14. 14曲线 C1C_1 由参数方程定义为 x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1} \quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并进行清晰的标注…
  15. 15用 aa 表示方程 1(x−a)2=∣x−a∣\dfrac{1}{(x-a)^2}=|x-a| 的根。 在同一坐标系中，画出方程为 y=1(x−a)2y=\dfrac{1}{(x-a)^2} 和 y=∣x−a∣y=|x-a| 的曲线草图，其中 a>1a>1。 由此解不等式 1(x−a)2>∣x−a∣\dfrac{1}{(x-a)^2}>|x-a|…
  16. 16下图显示了函数 y=f(x)y = f(x) 的图像草图。该图像在 x=1x = 1、y=3y = 3 和 x 轴处有渐近线。该图像在 (−1,−3)(-1,-3) 处有一个驻点，且与坐标轴交于 (0,0)(0,0) 和 (2,0)(2,0)。 在不同的图上分别画出以下函数…
  17. 17[在此问题中，所给图像的草图未按比例绘制] y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)| 和 y2=f(x)y^2 = \mathrm{f}(x) 的图像如下所示。 在不同的图上，分别画出下列函数的图像草图， 写出所有渐近线方程以及与坐标轴交点…
  18. 18曲线的方程为 y=f(x)y=f(x)，其中 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c。曲线 y=f(x)y=f(x) 在 (1,−32)(1,-32) 处有一个极大值点，而曲线 y=1f(x)y=\dfrac{1}{f(x)} 有一条方程为 x=5x=5 的垂直渐近线…
  19. 19图示为 y=∣a−bx∣y = |a - bx| 和 y=∣mx−6∣y = |mx - 6| 的图像，其中 aa、bb 和 mm 是正常数。y=∣a−bx∣y = |a - bx| 的图像与 xx 轴交于点 (94,0)\left(\frac{9}{4}, 0\right)…
  20. 20第一部分：纯粹数学 [40分] 在同一坐标轴上画出 y=3xy = 3x 和 y=∣x2−a2∣y = |x^2 - a^2| 的图象，其中 a>0a > 0。 求 ∣x2−a2∣=3x|x^2 - a^2| = 3x 在 0<x<a0 < x < a 范围内的准确解。
  21. 21已知 aa 和 bb 都是正数常数，在同一幅图上，草拟以下函数的图像： y=2∣x−a∣andy=b∣x−a∣.y = \frac{2}{|x - a|} \quad \text{and} \quad y = b|x - a|. 由此或通过其他方法，解不等式 2∣x−a∣>b∣x−a∣\frac{2}{|x - a|} > b|x - a|…
  22. 22函数 f\text{f} 定义为 f(x)=ax3+bx2+cx+d\text{f}(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像经过点 (−3,4)(-3, 4) 和 (1,8)(1, 8)。已知 y=1f(x)y = \frac{1}{\text{f}(x)}…
  23. 23曲线 RR 的方程为 y=f(x)y=f(x)。坐标为 (7,−9)(7,-9) 的点 PP 在 RR 上。曲线 RR 在点 PP 处的切线斜率为 10。 曲线 CC 是通过对 RR 进行以下两个变换得到的： - 沿平行于 yy 轴的方向以…
  24. 24图中展示了 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 和 y=f′(x)y = f'(x) 的图像。 y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像在 (−3,4)(-3,4) 和 (3,4)(3,4) 处有转折点，与 xx 轴相交于 (−2,0)(-2,0) 和 (2,0)(2,0)，其渐近线方程为 x=−1x = -1…
  25. 25曲线 y=f(x)y = f(x) 的图像在下方给出。 在不同的图表中，画出以下函数的图像： y=1f(x)y = \frac{1}{f(x)} y=f′(x).y = f'(x). 曲线 CC 的参数方程为 x=tx = t, y=2t2y = 2t^2。 描述一系列变换，…
  26. 26图显示了曲线 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)。该曲线通过点 A(a,0)A(a,0) 和点 B(b,0)B(b,0)，在 C(c,−1)C(c,-1) 处有一个极值点，渐近线为 y=12y = \frac{1}{2} 和 x=0x = 0。 在不同的图上分别画出以…
  27. 27下图显示了 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图象。该图象的渐近线为 x=2x = 2 和 y=2y = 2。图象与 xx 轴交于 (1,0)(1, 0)，与 yy 轴交于 (0,1)(0, 1)，且有一个转折点 (4,1)(4, 1)。 在不同的图…
  28. 28曲线 CC 的方程为 y=x2+(λ−1)xx−1,x≠1,y = \frac{x^2 + (\lambda - 1)x}{x - 1}, \quad x \ne 1, 其中 λ\lambda 为常数。求 CC 的渐近线方程， 使 CC 在 x>0x > 0 时具…
  29. 29下图显示了 y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像。该曲线与 yy 轴交于点 (0,−112)\left(0, -\frac{11}{2}\right)，且极大值点为 (a,b)(a,b)，极小值点为 (c,d)(c,d)。渐近线方程为 y=3y = 3，x=−1x = -1…
  30. 30图中显示了曲线 y=f(x)y = f(x)，其极值点为 A(3,2.5)A(3, 2.5) 和 B(0,1)B(0, 1)。直线 y=1y = 1 和 x=−2x = -2 是该曲线的渐近线。 在不同的图上分别画出下列函数的图像，并视情况清晰写出渐近线的方程以及对应于 A…
  31. 31函数 f 和 g 定义为 f:x↦∣(x+1)(x−3)∣,x∈R,f:x\mapsto |(x+1)(x-3)|,\quad x\in\mathbb{R}, g:x↦x−2,x∈R 且 x≥−1.g:x\mapsto x-2,\quad x\in\mathbb{R}\ \text{且 } x\ge -1.…
  32. 32曲线 C1C_1 由参数方程定义：x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1}\quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并清晰地标出图中的关…
  33. 33下图展示了 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像。曲线与坐标轴交于 A(0,1.5)A(0, 1.5) 和 B(−3,0)B(-3, 0)。该曲线的渐近线为 x=−2x = -2 和 y=1y = 1。 在不同的图中，分别画出下列函数的图像，并尽可能清晰地标…
  34. 34下图展示了 y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)| 和 y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x) 的图像。 在不同的图上分别画出以下函数的图像： 在每幅图中清晰地标出与坐标轴的交点、极值点的坐标以及渐近线的方程。 y=∣f(2x)∣+1y = |\mathrm{f}(2x)| + 1…
  35. 35图示为 y=∣a−bx∣y = |a - bx| 和 y=∣mx−6∣y = |mx - 6| 的图像，其中 aa、bb 和 mm 为正常数。y=∣a−bx∣y = |a - bx| 的图像与 xx 轴相交于点 (94,0)\left(\frac{9}{4}, 0\right)…
  36. 36证明 y=ln⁡(e23x)y=\ln\left(\dfrac{e^{2}}{3x}\right) 可以写成 y=a+bln⁡(cx)y=a+b\ln(cx) 的形式，其中 aa、bb 和 cc 是待求的整数。由此，写出一系列能将 y=ln⁡xy=\ln x 的图像变换为 y=ln⁡(e23x)y=\ln\left(\dfrac{e^{2}}{3x}\right)…
  37. 37y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x) 和 y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)| 的图像如下图所示。 写出 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 图像所有转向点的性质。 写出 f\mathrm{f} 递减时 xx 的取值范围。…
  38. 38y=∣f(x)∣y = |\mathrm{f}(x)| 的图像在 (0,2)(0,2) 处有一个转折点，且经过点 (−4,0)(-4,0) 和 (4,0)(4,0)。y=f′(x)y = \mathrm{f}'(x) 的图像在原点处有一个拐点。 在不同的图上，画出下列函数的图像草图…
  39. 39曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  40. 40上面给出了 y=f(x)y = \text{f}(x) 的图像。在不同的图上分别画出以下函数的图像： 你的草图应清晰地标出任何驻点、与坐标轴的交点坐标以及任何渐近线的方程。 y=f(2x+3)y = \text{f}(2x + 3)， y=f′(x)y = \text{f}'(x)…
  41. 41y=f′(x)y=f'(x) 和 y=∣f(x)∣y=|f(x)| 的图像如下所示。 确定 y=f(x)y=f(x) 图像所有极值点的性质。 求 ff 递减时 xx 的取值范围。 草拟 y=f(x)y=f(x) 的图像，清晰标出渐近线方程、极值点坐标以及与坐标轴的交点。 在…
  42. 42完整描述一系列将曲线 y2=xy^2=x 变换为曲线 y24=1−x\dfrac{y^2}{4}=1-x 的几何变换。 已知一条曲线的方程为 y=f(x)y=f(x)，其中 f(x)={21−xfor 0≤x<1,0otherwise.f(x)=\begin{cases}2\sqrt{1-x} &\text{for }0\le x<1,\\0 &\text{otherwise.}\end{cases}…
  43. 43在同一坐标轴上，画出方程为 y=∣ax+11−ax∣y = \left| \frac{ax + 1}{1 - ax} \right| 和 y=1ax+1y = \frac{1}{a}x + 1 的曲线草图，其中 a>1a > 1，并给出渐近线的方程以及曲线与坐标轴交点的坐…
  44. 44曲线 GG 的方程为 y=f(3x−2)+ay = \mathrm{f}(3x-2)+a，其中 aa 是一个正实常数。该曲线通过一系列变换被变换为方程为 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的曲线。 用 aa 完整地描述这一系列变换。 GG 上坐…
  45. 45曲线 CC 的方程为 f(x)=ax2+bx+c\text{f}(x) = \frac{a}{x^2} + bx + c，其中 aa、bb 和 cc 是常数。已知 CC 经过点 (−1,4)(-1, 4) 和 (2,−11)(2, -11)，且 y=1f(x)y = \frac{1}{\text{f}(x)}…
  46. 46画出 y=1f(x)y = \dfrac{1}{f(x)}，y=f′(x)y = f'(x)，y=∣f(x)∣y = |f(x)|，y=f(∣x∣)y = f(|x|) 的图像。
  47. 47函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x)=\ln(5-x)，其中 x<5x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 xx 轴和 yy 轴围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所产生的旋转体体积。结果保留两位小数。 求使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)|…
  48. 48函数 f 的定义为 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中 a,b,ca,b,c 和 dd 是实数。 已知 1−2i1-2i 和 −1-1 是 f(x)=0f(x)=0 的根，用 aa 表示 bb、cc 和 dd。 若改为已知 a=2a = 2…
  49. 49函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5-x)，其中 x<5x < 5。 求由曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴和 yy 轴所围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所生成的旋转体体积。结果保留两位小数。 (i) 写出满足 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|) = |f(x)|…
  50. 50y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像经过点 (10,−28)(10, -28)，其中 f(x)=ax2+bx+c\mathrm{f}(x) = ax^2 + bx + c。 当 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像沿平行于 xx 轴的方向拉伸为原来的…
  51. 51不使用计算器，解不等式 2x2−xx2+3x−4>1\dfrac{2x^2 - x}{x^2 + 3x - 4} > 1。 在同一坐标轴上，画出 y=2+axy = 2 + \dfrac{a}{x} 和 y=2−∣x∣y = 2 - |x| 的图像草图，其中 aa 是满足 1<a<21 < a < 2…
  52. 52描述一个由两个变换组成的序列，该序列将 y=ln⁡(x2x+1)y = \ln\left(\frac{x^2}{x+1}\right) 的图像映射到 y=ln⁡(2x+14x2)y = \ln\left(\frac{2x+1}{4x^2}\right) 的图像上。 下图显示了 y=f(x)y = \mathrm{f}(x)…
  53. 53下图显示了 x<32x<\frac{3}{2} 时 y=f(x)y=f(x) 的图像。该图像具有驻点 (−π4,−2)(-\frac{\pi}{4}, -2) 和 (π4,−25)(\frac{\pi}{4}, -\frac{2}{5})，与坐标轴的交点为 (0,−12)(0, -\frac{1}{2})…
  54. 54曲线 CC 的方程为 y=2+3ax−ay = 2 + \frac{3a}{x - a}，其中 aa 是一个正常数。 详细描述能将曲线 y=1xy = \frac{1}{x} 变换为曲线 CC 的一系列变换。 草拟 y=∣2+3ax−a∣y = \left| 2 + \frac{3a}{x - a} \right|…
  55. 55求方程 ∣x2−7x+3∣=13−x|x^2 - 7x + 3| = 13 - x 的精确根。 在同一坐标系中，草绘方程为 y=∣x2−7x+3∣y = |x^2 - 7x + 3| 和 y=13−xy = 13 - x 的曲线，并标明所有交点的 xx 坐标值。由此精确求解不等式 ∣x2−7x+3∣<13−x|x^2 - 7x + 3| < 13 - x…