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区域面积

曲线与平行于坐标轴的直线之间、曲线与直线之间或两条曲线之间围成区域的面积。

这个知识点的练习题

  1. 1[剑桥/9709/2010] 图中显示了曲线 y=9−x3y = 9 - x^3 和 y=8x3y = \frac{8}{x^3} 的部分图像以及它们的交点 PP 和 QQ。PP 和 QQ 的 xx 坐标分别为 aa 和 bb。 证…
  2. 2已知 1a+bx\dfrac{1}{a+bx} 展开式的前三项为 12+14x+cx2\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}x+cx^2，求 aa、bb 和 cc 的值。 利用第 (i) 小题的答案，求由曲线 y=1a+bxy = \dfrac{1}{a+bx}…
  3. 3曲线 C 的参数方程为 x=at,  y=at3x = at,\; y = at^{3}，其中 aa 为正常数。 曲线上的点 P 的参数为 pp，曲线在点 P 处的切线与 yy 轴交于点 S，与 xx 轴交于点 T。点 M 是 ST 的中点。求当 pp…
  4. 4将方程为 y=f(x)y=f(x) 的曲线先关于 y 轴进行反射，接着沿 x 轴负方向平移 1 个单位，最后在平行于 y 轴的方向上进行拉伸（缩放因子为 2）。所得曲线的方程由 y=g(x)y=g(x) 给出，其中 g(x)=14−x2  ,−2<x<0g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\;,\quad -2<x<0…
  5. 5曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  6. 6证明对于 x>1x>1， ddx(1x2−1)=−x(x2−1)3/2 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)=-\dfrac{x}{(x^2-1)^{3/2}}\,. ddx(sin⁡−11x)=−1xx2−1 .\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,.…
  7. 7曲线 CC 由参数方程定义 x=t−sin⁡tx = t - \sin t，y=sin⁡2ty = \sin^{2} t，  0≤t≤π\;0 \le t \le \pi。 曲线 CC 上的点 AA 对应的参数为 π2\dfrac{\pi}{2}，且是一个极大值点。直线…
  8. 8曲线 C 由参数方程定义： x=θ2−1,y=tan⁡θ2,0≤θ<πx = \theta^2 - 1,\quad y = \tan\frac{\theta}{2},\quad 0 \le \theta < \pi。 求由 C、y 轴和 x 轴所围成且满足 x≤0x \le 0…
  9. 9通过换元法 u=x+1u = \sqrt{x+1}，求 ∫x+1x−1 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\,dx。 区域 RR 由曲线 y=x+1x−1y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} 以及直线…
  10. 10曲线 CC 的参数方程定义为 x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a \tan t, \quad y = a \sec^2 t \sin t, \quad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 是正常数。 证明…
  11. 11曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的精确面积。 曲线 CC 的参数方程定义…
  12. 12一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  13. 13上图显示了对于 xge0x \\ge 0，y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1lexle31 \\le x \\le 3 范围内，曲线下方画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度，都会得到一个圆柱形薄片。这…
  14. 14函数 f\text{f} 的定义为 f:x→2x−12x,0<x<2.\text{f} : x \to 2x - \frac{1}{2x}, \quad 0 < x < 2. 已知 f−1\text{f}^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1\text{f}^{-1}…
  15. 15求由图象 y=2x2+3y = 2x^2 + 3 和 y=−2x+7y = -2x + 7 围成的区域面积。 若两个图象都沿 yy 轴负方向平移 7 个单位，写出由这两个图象围成的区域面积。 区域 RR 由 y=2x2+3y = 2x^2 + 3、y=−2x+7y = -2x + 7…
  16. 16通过两次分部积分证明：∫e2xsin⁡x dx=15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+c.\int e^{2x}\sin x\,dx=\tfrac{1}{5}e^{2x}(2\sin x-\cos x)+c. 下图显示了阴影区域 RR，该区域由曲线 y=ex−π/2sin⁡xy= e^{x-\pi/2}\sqrt{\sin x}…
  17. 17曲线 CC 的参数方程为 x=sin⁡θ+1andy=3cos⁡θ−1, where −π2≤θ≤π2.x = \sin \theta + 1 \quad \text{and} \quad y = \sqrt{3} \cos \theta - 1, \text{ where } -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  18. 18下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  19. 19曲线 CC 由以下参数方程定义： x=2cos⁡θ+1,y=sin⁡θ,where −π≤θ≤π.x = 2\cos\theta + 1, \quad y = \sin\theta, \quad \text{where } -\pi \le \theta \le \pi. 画出曲线 CC 的…
  20. 20曲线 C 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 L 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下方图示显示了由 C 和 L 所围成的阴影区域 A。 使用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  21. 21使用代换 x=1+sin⁡ux=1+\sin u 求 ∫2x−x2 dx\int\sqrt{2x-x^{2}}\,dx。 包含点 (0,1) 的有界区域 RR 由曲线 y=∣x∣3+∣x∣y=|x|^{3}+|x| 和 y=∣x∣+2−2∣x∣−x2y=|x|+2-\sqrt{2}|x|-x^{2} 围成。…
  22. 22通过使用换元法 x=1ux = \frac{1}{u}，证明 ∫2241xx2−4 dx=π24\int_{2\sqrt{2}}^{4} \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 4}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{24}。 OO 为原点，AA…
  23. 23曲线 CC 的参数方程定义为： x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a\tan t, \qquad y = a\sec^{2}t\sin t, \qquad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 为正常数。 证…
  24. 24曲线 GG 的方程为 y=ax+b+c(x+1)2y = ax + b + \dfrac{c}{(x+1)^2}，其中 aa、bb 和 cc 是正整数。 设 RR 是由曲线 GG、坐标轴以及直线 x=3x = 3 围成的区域。 解释为什么对于所有 x>0x > 0…
  25. 25上图展示了当 x≥0x \ge 0 时 y=f(x)y = \text{f}(x) 的函数图像简图。在曲线下方，在区间 1≤x≤31 \le x \le 3 上画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将…
  26. 26图中显示了方程为 y=12(3x+2)2+4y = \frac{12}{(3x+2)^2 + 4} 的曲线 CC，其转向点为 (−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)。区域 RR 由曲线 CC、yy 轴以及直线 y=3y = 3 围成。…
  27. 27曲线 CC 由参数方程定义 x=4sin⁡t,y=bcos⁡t−1,\begin{aligned} x &= 4\sin t, \\ y &= b\cos t - 1, \end{aligned} 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi 且 1<b<41 < b < 4。…
  28. 28设 RR 是由曲线 y=4xy = 4\sqrt{x} 和 y=x2+1y = x^2 + 1 围成的区域。 求区域 RR 的面积。 如果直线 x=cx = c 将区域 RR 分为两个面积相等的区域，求 cc 的值。 求区域 RR 绕 yy…
  29. 29上图显示了 x≥0x\ge 0 时 y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1≤x≤31\le x\le 3 范围内的曲线下方绘制了 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将形成一个圆盘。这 nn 个圆…
  30. 30喷嘴通常用于软管的末端，以引导和加速水流。下图表示一个喷嘴的侧视图。 喷嘴本身由外表面和内表面之间的固体材料组成（图中阴影部分）。水流过由内表面包围的空心区域 ABCD。喷嘴的外表面是通过将方程为 y2=k+2k(x+1)(x+2),for 0≤x≤k, where k∈R,  k≥1,y^{2} = k + \dfrac{2k}{(x+1)(x+2)},\qquad\text{for }0\le x\le k,\text{ where }k\in\mathbb{R},\;k\ge 1, …
  31. 31曲线 C 的参数方程为 x=et,  y=sin⁡tx = e^{t},\ \ y = \sin t 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi。 求 ∫etsin⁡t dt\int e^{t}\sin t\,dt。 画出 C 的图形草图。 求由 C、x 轴以及直线 x=1x = 1…
  32. 32曲线 P 由 y=−sin⁡2xy = -\sin^2 x 定义，其中 −π≤x≤0-\pi \le x \le 0。 有界区域 R 由曲线 P、y 轴以及直线 x=−π2x = -\frac{\pi}{2}、y=−2y = -2 围成。 求 P 的极小值点的精确坐标。…
  33. 33[在本题中，所有长度的测量单位均为米。] 要建造一座纪念碑，它由两部分组成——主体结构和底座。主体结构是将曲线 y=3sin⁡(2x2)y = 3\sin\left(2x^2\right)、 y=x2y = x^2 以及直线 x=π8x = \sqrt{\frac{\pi}{8}}…
  34. 34上图显示了方程为 y=ln⁡xx2y = \frac{\ln x}{x^2} 的曲线 C1C_1，其中 x≥1x \ge 1。 证明 C1C_1 上的极值点的精确坐标为 (e,12e)\left(\sqrt{\text{e}}, \frac{1}{2\text{e}}\right)…
  35. 35曲线 CC 由参数方程定义： x=θ2−1x = \theta^2 - 1，y=tan⁡θ2y = \tan\frac{\theta}{2}，0≤θ<π0 \le \theta < \pi。 求由 CC、yy 轴和满足 x≤0x \le 0 的 xx 轴所围成…
  36. 36曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  37. 37曲线 CC 是一个半径为 2、圆心在原点的圆，其方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4。直线 LL 的方程为 3y=x+2\sqrt{3}y = x + 2。下图显示了由 CC 和 LL 所围成的阴影区域 AA。 利用换元法 x=2sin⁡θx = 2\sin\theta…
  38. 38曲线 CC 由参数方程定义： x=1−cos⁡t,y=sin⁡2t,where 0≤t≤π2.x = 1 - \cos t, \quad y = \sin 2t, \quad \text{where } 0 \le t \le \frac{\pi}{2}. 草拟曲线 CC 的图像，并给出 CC…
  39. 39函数 ff 的定义为 f:x↦2x−12x,0<x<2f: x \mapsto 2x - \dfrac{1}{2x},\quad 0 < x < 2。 已知 f−1f^{-1} 存在。 以类似的格式定义 f−1f^{-1}。 在同一坐标系中画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)…
  40. 40如图所示，曲线 CC 的参数方程为 x=(1+t)2,y=(3−t)2.x = (1+t)^2, \quad y = (3-t)^2. 曲线 CC 与坐标轴相交于点 (16,0)(16, 0) 和 (0,16)(0, 16)。 证明直线 x=16x = 16 与 CC 相交于点 PP…
  41. 41曲线 CC 的参数方程为 x=t2,y=t3+1for t∈R.x = t^2, \quad y = t^3 + 1 \quad \text{for } t \in \mathbb{R}. 画出 CC 的图像，并给出其与坐标轴交点的坐标。 在不使用计算器的情况下，求…
  42. 42求 ∫9u−84+9u2 du\displaystyle \int \frac{9u-8}{4+9u^2}\,\mathrm{d}u。 曲线 CC 由参数方程给出： x=u2+u+1x = u^2 + u + 1，y=9u4+9u2y = \dfrac{9u}{4+9u^2}，其中 u≥0u \ge 0…
  43. 43曲线 C 的参数方程为 x=3sec⁡tx = 3\sec t 且 y=−2tan⁡ty = -2\tan t，其中 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2}。 求曲线的直角坐标方程，并说明对 xx 和 yy 取值的任何限制。 画出曲线 C 的草图，并指出…
  44. 44曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡θ−2cos⁡3θ,x = 3\cos\theta - 2\cos 3\theta , y=9sin⁡θ−sin⁡3θ,y = 9\sin\theta - \sin 3\theta , 其中 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi。 画出…
  45. 45曲线 CC（如下图所示）的方程为 y=x2sin⁡xy = x^2 \sin x，−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi。 计算由 CC 和 xx 轴所围成的区域 RR 的精确面积。 绘制方程为 (y+1)2−4(x+2)2=1(y + 1)^2 - 4(x + 2)^2 = 1…
  46. 46曲线 CC 的参数方程定义为 x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a \tan t, \quad y = a \sec^2 t \sin t, \quad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 为正常数。 证明…