已知 $y = (1 + \tan^{-1} x)^2$。

1. 对 $y = (1 + \tan^{-1} x)^2$ 求一阶导数并去分母

由链式法则可得：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2(1 + \tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1 + x^2}$
两边同乘以 $(1 + x^2)$，得：
$(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2(1 + \tan^{-1} x)$

2. 再次求导并整理得到目标等式

两边对 $x$ 再次求导，左边应用乘积法则：
$(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 \cdot \frac{1}{1 + x^2}$
两边同乘以 $(1 + x^2)$，整理得：
$(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2$

1. 对第一问结果方程逐项求导

对方程 $(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2$ 两边关于 $x$ 求导：
第一项应用乘积法则：
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \right] = (1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} + 2(1 + x^2)(2x) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = (1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} + 4x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$
第二项 $2x(1 + x^2) = 2x + 2x^3$，求导得：
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (2x + 2x^3) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right] = (2x + 2x^3) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (2 + 6x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2(1 + 3x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
常数项求导为 $0$。

2. 合并同类项得到最终方程

将各项相加：
$(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} + 4x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2(1 + 3x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$
合并同类项可得：
$(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} + 6x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2(1 + 3x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$

1. 求出 $x = 0$ 处 $y$ 及各阶导数的值

当 $x = 0$ 时：

• $y(0) = (1 + \tan^{-1} 0)^2 = 1^2 = 1$
• 由 $(1 + x^2) y' = 2(1 + \tan^{-1} x)$，得 $1 \cdot y'(0) = 2(1 + 0) \implies y'(0) = 2$
• 由 (a) 的结论 $(1 + x^2)^2 y'' + 2x(1 + x^2) y' = 2$，代入 $x = 0$ 得：
  $1^2 \cdot y''(0) + 0 = 2 \implies y''(0) = 2$
• 由 (b) 的结论 $(1 + x^2)^2 y''' + 6x(1 + x^2) y'' + 2(1 + 3x^2) y' = 0$，代入 $x = 0$ 得：
  $1^2 \cdot y'''(0) + 0 + 2(1)(2) = 0 \implies y'''(0) + 4 = 0 \implies y'''(0) = -4$

2. 代入麦克劳林级数公式展开

麦克劳林级数公式为：
$y(x) = y(0) + y'(0)x + \frac{y''(0)}{2!}x^2 + \frac{y'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
将各导数值代入：
$y = 1 + 2x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{-4}{6}x^3 + \dots$
$y = 1 + 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 + \dots$

1. 确定切点坐标与切线斜率

在 $x = 0$ 处，已求得 $y(0) = 1$，切点为 $(0, 1)$。
切线斜率 $m_t = y'(0) = 2$。

2. 计算法线斜率并写出法线方程

法线斜率 $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$。
由点斜式，法线方程为：
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \implies y = -\frac{1}{2}x + 1$