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标准级数展开

任意有理数 nn 的 (1+x)n(1+x)^n 以及 exe^x、sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 和 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 的标准级数展开式。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 θ\theta 很小，证明 sec⁡θ≈1+12θ2\sec\theta \approx 1 + \tfrac{1}{2}\theta^{2}。 下图显示了一个圆，圆心为 O，半径为 r，圆周上有两点 A 和 B，使得 ∠AOB=θ\angle AOB = \theta…
  2. 2将 2+x9−x\displaystyle\frac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到并包括 x2x^2 的项。 仅使用上述级数展开式的前两项，并代入 x=19x = \frac{1}{9}，求出 5\sqrt{5}…
  3. 3已知 1a+bx\dfrac{1}{a+bx} 展开式的前三项为 12+14x+cx2\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}x+cx^2，求 aa、bb 和 cc 的值。 利用第 (i) 小题的答案，求由曲线 y=1a+bxy = \dfrac{1}{a+bx}…
  4. 4已知 θ\theta 很小，证明 sec⁡θ≈1+12θ2\sec \theta \approx 1 + \tfrac{1}{2}\theta^2。 下图显示了一个圆心为 OO、半径为 rr 的圆，圆周上有点 AA 和 BB 使得 ∠AOB=θ\angle AOB = \theta…
  5. 5已知 ey=2+ex\text{e}^y = 2 + \text{e}^x。 证明 d2ydx2+(dydx)2=dydx\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + \left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  6. 6已知 y=sin⁡(ex−1)y = \sin\left(e^x - 1\right)。 证明 d2ydx2=dydx−ye2x\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{dy}{dx} - ye^{2x}。 由此求出 yy 的麦克劳林级数展开式，保留至包含 x2x^2…
  7. 7已知 f(x)=14+9x2f(x)=\dfrac{1}{4+9x^2}。 求 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx。 求 f(x)f(x) 的二项展开式，展开到包含 x4x^4 的项。以最简精确分数形式给出各项系数。 由此，求 tan⁡−13x2\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}…
  8. 8证明 ∫nn+1ln⁡x dx=(n+1)ln⁡(n+1)−nln⁡n−1.\displaystyle\int_{n}^{n+1} \ln x\, dx = (n+1)\ln(n+1) - n\ln n - 1. (ii) 图中给出了 x=nx = n 与 x=n+1x = n+1 之间 y=ln⁡xy = \ln x…
  9. 9第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2).\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{1}{2x^{2}}\big(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\big).…
  10. 10在三角形 ABCABC 中，AB=1AB = 1，BC=4BC = 4 且角 ABC=θABC = \theta 弧度。已知 θ\theta 是一个足够小的角，证明： AC≈(9+4θ2)12≈a+bθ2,AC \approx \left(9 + 4\theta^2\right)^{\frac{1}{2}} \approx a + b\theta^2,…
  11. 11已知 y=ln⁡(2−e−2x)y = \ln(2 - \text{e}^{-2x})。 证明 dydx=4e−y−2\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 4\text{e}^{-y} - 2。 由此求出 yy 的麦克劳林级数，直到包含 x2x^2 的项。…
  12. 12求 (4+3x)5/2(4 + 3x)^{5/2} 展开为 xx 的升幂级数时的第一个负系数，其中 ∣x∣<43|x| < \dfrac{4}{3}。将你的答案写成最简分数形式。
  13. 13在顶点为 A、B 和 C 的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC=\frac{\pi}{3}-x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}。…
  14. 14已知 f(x)=1+cos⁡2x\mathrm{f}(x) = 1 + \cos 2x，求 f(0)\mathrm{f}(0)、f′(0)\mathrm{f}'(0)、f′′(0)\mathrm{f}''(0)、f(3)(0)\mathrm{f}^{(3)}(0) 和 f(4)(0)\mathrm{f}^{(4)}(0)…
  15. 15将 5+x2(2+x)(1−x)2\dfrac{5 + x^2}{(2 + x)(1 - x)^2} 表示为 A(2+x)+B(1−x)2\dfrac{A}{(2 + x)} + \dfrac{B}{(1 - x)^2} 的形式，其中 AA 和 BB 为待求常数。 由此，将 5+x2(2+x)(1−x)2\dfrac{5 + x^2}{(2 + x)(1 - x)^2}…
  16. 16求 π∫16x3 dx\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x 的准确值。 图中给出了曲线 y=x32y = x^{\frac{3}{2}} 的草图，其中 x≥0x \ge 0。曲线下方介于 x=1x = 1 和 x=6x = 6 之间的区域（…
  17. 17三角形 ABCABC 满足 AC=2AC = \sqrt{2}，BC=4BC = 4 且角 ACB=14π+θACB = \frac{1}{4}\pi + \theta。已知 heta heta 足够小，以至于可以忽略 heta3 heta^3 及更高阶项，证明 AB≈10[1+aθ+bθ2],AB \approx \sqrt{10}\left[1 + a\theta + b\theta^2\right],…
  18. 18已知 f(x)=ln⁡(1+2x2)\mathrm{f}(x) = \ln(1 + 2x^2)。 多项式 p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c 用于在 1≤x≤21 \le x \le 2 内近似 f(x)\mathrm{f}(x)。已知 p(1)=f(1)p(1) = \mathrm{f}(1)…
  19. 19已知 f(x)=ln⁡(a+x)f(x)=\ln(a+x)，x∈Rx\in\mathbb{R}，x>−ax>-a，其中 aa 是常数。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求出 f(x)f(x) 展开到包含 x3x^{3} 项的级数展开式。 已知 a=1a=1。由此或用其…
  20. 20利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 和 ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准级数，求出 ln⁡(1+x1−x)\displaystyle\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 的级数的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx…
  21. 21求 (9+x)1/21+2x\dfrac{(9 + x)^{1/2}}{1 + 2x} 展开为 xx 的升幂级数时的前两项。
  22. 22TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln\left(2 - e^{2x}\right)，其中 x<12ln⁡2x < \tfrac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.e^y\left[\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = -4e^{2x}.…
  23. 23求 exsin⁡(x+π)\text{e}^x \sin(x + \pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知在第 (a) 部分中求得的三个项等于当 xx 较小时 ax(1+bx)cax(1+bx)^c 的级数展开式的前三个项，其中 aa、bb 和 cc 为常数…
  24. 24已知 y=cos⁡{ln⁡(1+x)}y = \cos\{\ln(1 + x)\}，证明： (1+x)dydx=−sin⁡{ln⁡(1+x)}(1 + x)\dfrac{dy}{dx} = -\sin\{\ln(1 + x)\} (1+x)2d2ydx2+(1+x)dydx+y=0.(1 + x)^2\dfrac{d^2y}{dx^2} + (1 + x)\dfrac{dy}{dx} + y = 0.…
  25. 25已知 f(x)=1+cos⁡2xf(x)=1+\cos 2x，求 f(0)f(0)，f′(0)f'(0)，f′′(0)f''(0)，f(3)(0)f^{(3)}(0) 和 f(4)(0)f^{(4)}(0)。写出 f(x)f(x) 的麦克劳林级数展开式，至包含 x4x^4 的项。 由此推出 cos⁡2x\cos^2 x…
  26. 26环境管理局希望建造一个围栏，围住下图所示的一个公园。BCEFBCEF 是一个边长为 2 千米的正方形。ECDECD 和 ABFABF 是两个完全相同的三角形，其中 CD=CECD = CE，且角 DCE=θDCE = \theta 弧度。建造围栏的费用为 28…
  27. 27三角形 ABCABC 满足 AC=2AC = \sqrt{2}，BC=4BC = 4 且角 ACB=14π+θACB = \tfrac{1}{4}\pi + \theta。已知 θ\theta 足够小，以至于 θ3\theta^3 及更高阶的 θ\theta…
  28. 28在三角形 PQRPQR 中，角 PQR=π3PQR = \frac{\pi}{3} 弧度，角 PRQ=π3−θPRQ = \frac{\pi}{3} - \theta 弧度，其中 θ\theta 足够小，使得 θ3\theta^3 及更高次幂的 θ\theta…
  29. 29已知 f(x)=ln⁡(a+x)\mathrm{f}(x) = \ln(a + x)，x∈Rx \in \mathbb{R}，x>−ax > -a，其中 aa 是常数。 利用公式表 (MF27) 中的标准级数，求 f(x)\mathrm{f}(x) 直到包含 x3x^3…
  30. 30已知 y=e−xln⁡(1−2x)y = \mathrm{e}^{-x}\ln(1-2x)。 证明 (1−2x)dydx=−2e−x−y(1−2x)(1-2x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -2\mathrm{e}^{-x} - y(1-2x) 并由此证明 (1−2x)d2ydx2=2dydx+4e−x+(3−2x)y.(1-2x)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 4\mathrm{e}^{-x} + (3-2x)y .…
  31. 31函数 h 的定义如下： h:x↦ln⁡(x−k+1), x∈R, x≥k,h : x \mapsto \ln(x - k + 1),\ x \in \mathbb{R},\ x \ge k, 其中 k<0k < 0。 求 kk 的值，使得 hghg 的值域为 (ln⁡5,∞)(\ln 5,\infty)…
  32. 32变量 xx and yy 满足关系式 (x+y)dydx+ky=2andy=1 在 x=0 时,(x+y)\frac{dy}{dx} + ky = 2\quad\text{and}\quad y = 1\text{ 在 }x = 0\text{ 时}, 其中 kk 为常数。证明 (x+y)d2ydx2+(1+k)dydx+(dydx)2=0.(x+y)\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1+k)\frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 0.…
  33. 33第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2x^{2}}\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)…
  34. 34将 1−x21+3x3\dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x3x^3 项为止。 (ii) 写出该级数展开式成立的 xx 的取值集合。 (iii) 写出曲线 y=1−x21+3x3y = \dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}}…
  35. 35将 2+x9−x\dfrac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到并包括 x2x^2 项。 仅通过使用上述级数展开式的前两项并代入 x=19x = \dfrac{1}{9}，求出 5\sqrt{5} 的近似值，并表示为最…
  36. 36已知 y=1+ln⁡(1+x)y = \sqrt{1+\ln(1+x)}，求使 yy 有定义时 xx 取值范围的精确值。 证明 2y dydx=e−y22y\,\dfrac{dy}{dx} = e^{-y^2}。 由此求出 1+ln⁡(1+x)\sqrt{1+\ln(1+x)} 的麦克劳林级…
  37. 37将 2+x9−x\dfrac{2+x}{\sqrt{9-x}} 展开为 xx 的升幂级数，直到包含 x2x^2 的项为止。 仅使用上述级数展开式的前两项并代入 x=19x=\tfrac{1}{9}，求出 5\sqrt{5} 的近似值，并将其表示为最…
  38. 38设 xx 和 yy 是满足 ln⁡(y+1)=1+tan⁡−1x\ln(y + 1) = 1 + \tan^{-1}x 的变量。 证明 (1+x2)d2ydx2=(1−2x)dydx(1+x^2)\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = (1-2x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  39. 39在三角形 ABCABC 中，角 BAC=θBAC = \theta 弧度，角 ACB=π6ACB = \frac{\pi}{6} 弧度，且 AC=3AC = \sqrt{3}。 已知 θ\theta 足够小，证明： AB≈232+23θ−θ2≈a+bθ+cθ2,AB \approx \frac{2\sqrt{3}}{2 + 2\sqrt{3}\theta - \theta^2} \approx a + b\theta + c\theta^2,…
  40. 40已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明 d2ydx2+(dydx)2+a2=0.\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + a^2 = 0. 通过对…
  41. 41利用二项式级数将 1+x1−x\sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x2x^2 项为止，其中 ∣x∣<1|x| < 1。 通过在结果中代入 x=110x = \tfrac{1}{10}，证明 11≈663200\sqrt{11} \approx \dfrac{663}{200}…
  42. 42在本题中，你可以使用公式表（MF27）中的展开式。 求 ln⁡(1+cos⁡3x)\ln(1 + \cos 3x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林展开式，直至并包括 x4x^4 项，其中 0≤x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}。 利用第 **(i)…
  43. 43数列 xnx_{n} 满足关系式 xn+1=13(2xn+1xn2),n∈N+∪{0},0<x0<1.x_{n+1}=\tfrac{1}{3}\left(2x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}^{2}}\right),\quad n\in\mathbb{N}^{+}\cup\{0\},\quad 0<x_{0}<1.…
  44. 44已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明：d2ydx2+(dydx)2+a2=0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + a^2 = 0…
  45. 45求 exsin⁡(x+π)e^{x}\sin(x+\pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知在部分 (a) 中求得的三个项等于当 xx 较小时 ax(1+bx)cax(1+bx)^{c} 的幂级数展开式的前三个项，其中 aa，bb 和 cc 是常数。求 aa…
  46. 46已知 f(x)=ln⁡(1+e−x)f(x) = \ln\left(1+e^{-x}\right)。 使用公式表 (MF26) 中的标准级数或其他方法，证明 f(x) 的麦克劳林级数的前三个非零项为 ln⁡a+bx+cx2\ln a + bx + cx^2，其中 a, b 和 c 是…
  47. 47已知 ey=1+sin⁡3x\mathrm{e}^y = 1 + \sin 3x。 证明 d2ydx2+(dydx)2+9=9e−y.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + 9 = 9\mathrm{e}^{-y}.…
  48. 48已知 y=e1+2xy = \text{e}^{\sqrt{1+2x}}，证明： (1+2x)(dydx)2=y2and(1+2x)d2ydx2+dydx=y.(1+2x)\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 = y^2 \quad \text{and} \quad (1+2x)\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y.…
  49. 49利用公式表（MF26）中的标准级数，将 ln⁡(k+2x)n\ln(k + 2x)^n 按 xx 的升幂展开，直到 x3x^3 项，其中 kk 和 nn 为实常数，k>0k > 0，n<0n < 0 且 x>−k2x > -\frac{k}{2}。 写出第 *…
  50. 50在 1(2+ax)5\frac{1}{(2+ax)^5} 的展开式中，x3x^3 的系数是 4−ax\sqrt{4-ax} 展开式中 x2x^2 系数的 5 倍，其中 aa 是非零常数。求 aa 的确切值。
  51. 51在以 AA、BB 和 CC 为顶点的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC = \frac{\pi}{3} - x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x.\frac{AB}{AC} = \frac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}.…
  52. 52TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln(2 - \mathrm{e}^{2x})，其中 x<12ln⁡2x < \frac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.\mathrm{e}^y \left[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] = -4\mathrm{e}^{2x}.…
  53. 53三角形 ABCABC 满足 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4 且角 BAC=θBAC = \theta 弧度。 三角形 ABCABC 满足 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4 且角 BAC=θBAC = \theta 弧度。 已知 θ\theta 足够…
  54. 54利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) and ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准展开式，求 ln⁡(1+x1−x)\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) 展开式的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx 值，求 ∑r=0∞1(2r+1)4r.\displaystyle\sum_{r=0}^{\infty}\frac{1}{(2r+1)4^r}.…
  55. 55使用常用级数，求 11−a2x2\dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} 的麦克劳林级数展开式，展开到包含 x4x^4 的项为止，其中 aa 是正常数。并求出使该展开式成立的 xx 的取值范围（用 aa 表示）。 使用常用级数…
  56. 56求 exsin⁡(x+π)e^{x}\sin(x+\pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知对于微小的 xx，在 (a) 部分中求得的三个项等于 ax(1+bx)ca x (1 + b x)^{c} 的级数展开式的前三个项，其中 aa、bb 和 cc 是常数。…
  57. 57已知 f(x)=11−4x2\text{f}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}}，其中 −12<x<12-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求 f(x)\text{f}(x) 的麦克劳…
  58. 58已知 y=(1+tan⁡−1x)2y = (1 + \tan^{-1} x)^2。 证明 (1+x2)2d2ydx2+2x(1+x2)dydx=2(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2…
  59. 59已知 y=12ln⁡(1+tan⁡x)y = \tfrac{1}{2}\ln\left(1 + \tan x\right)，证明 2e2ydydx=sec⁡2x.2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} = \sec^2 x. 由此写出 yy 的麦克劳林级数的前两个非零项。 已知 yy…
  60. 60在本题中，你可以使用公式表（MF26）中的展开式。 已知 f(x)=esin⁡3x\mathrm{f}(x) = \mathrm{e}^{\sin 3x}，求出 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林级数展开式，直到包含 x2x^2…