数学知识点English

前几项公式推导

通过以下方法推导麦克劳林级数的前几项：逐次求导（例如 sec⁡x\sec x）、逐次隐函数求导（例如 y3+y2+y=x2−2xy^3 + y^2 + y = x^2 - 2x）或利用标准级数（例如 excos⁡2xe^x \cos 2x、ln⁡1+x1−x\ln\dfrac{1+x}{1-x}）。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 y=1+tan⁡−12xy = \sqrt{1 + \tan^{-1} 2x}，其中 −12<x<12-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}。证明 yd2ydx2+(dydx)2+8x(1+4x2)2=0.y \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{8x}{(1 + 4x^2)^2} = 0.…
  2. 2已知 y=tan⁡−115xy = \tan^{-1} \dfrac{1}{5} x，证明 (25+x2)d2ydx2+2xdydx=0\left(25 + x^2\right) \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2x \dfrac{dy}{dx} = 0。 通过对此结果的进一步求导，求…
  3. 3已知 ey=2+ex\text{e}^y = 2 + \text{e}^x。 证明 d2ydx2+(dydx)2=dydx\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + \left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  4. 4已知 y=1+tan⁡xy = \sqrt{1+\tan x}。 证明 2y dydx=1+(y2−1)22y\,\dfrac{dy}{dx} = 1 + (y^{2}-1)^{2} 且 y d2ydx2+(dydx)2=2y(y2−1)(dydx)y\,\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} = 2y(y^{2}-1)\left(\dfrac{dy}{dx}\right)…
  5. 5已知 y=sin⁡(ex−1)y = \sin\left(e^x - 1\right)。 证明 d2ydx2=dydx−ye2x\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{dy}{dx} - ye^{2x}。 由此求出 yy 的麦克劳林级数展开式，保留至包含 x2x^2…
  6. 6已知 f(x)=14+9x2f(x)=\dfrac{1}{4+9x^2}。 求 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx。 求 f(x)f(x) 的二项展开式，展开到包含 x4x^4 的项。以最简精确分数形式给出各项系数。 由此，求 tan⁡−13x2\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}…
  7. 7曲线上的点 (x,y)(x,y) 满足方程 x=12t2−2tx = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t 和 dydx=12t−1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2t - 1} 其中 tt 为参数，t>2t > 2。 已知当 t=4t = 4…
  8. 8第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2).\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{1}{2x^{2}}\big(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\big).…
  9. 9已知 y=1+tan⁡−12xy = \sqrt{1 + \tan^{-1} 2x}，其中 −12<x<12-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}。证明 yd2ydx2+(dydx)2+8x(1+4x2)2=0y \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{8x}{(1 + 4x^2)^2} = 0…
  10. 10已知 y=esin⁡−12xy= e^{\sin^{-1}2x}，证明 (1−4x2)d2ydx2=4y+4xdydx\left(1-4x^{2}\right)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=4y+4x\dfrac{dy}{dx}。 已知 y=esin⁡−12xy= e^{\sin^{-1}2x}，证明…
  11. 11已知 y=ln⁡(2−e−2x)y = \ln(2 - \text{e}^{-2x})。 证明 dydx=4e−y−2\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 4\text{e}^{-y} - 2。 由此求出 yy 的麦克劳林级数，直到包含 x2x^2 的项。…
  12. 12在顶点为 A、B 和 C 的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC=\frac{\pi}{3}-x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}。…
  13. 13已知 f(x)=1+cos⁡2x\mathrm{f}(x) = 1 + \cos 2x，求 f(0)\mathrm{f}(0)、f′(0)\mathrm{f}'(0)、f′′(0)\mathrm{f}''(0)、f(3)(0)\mathrm{f}^{(3)}(0) 和 f(4)(0)\mathrm{f}^{(4)}(0)…
  14. 14在三角形 ABCABC 中，已知 AB=2AB = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，AC=xAC = x，角 ABC=π6+θABC = \frac{\pi}{6} + \theta 弧度（见图）。 证明 x2=7−6cos⁡θ+23sin⁡θx^{2} = 7 - 6\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta…
  15. 15已知 dydx=x+5y2\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+5}{y^2}，且当 x=0x=0 时，y=5y=5。求 yy 的麦克劳林级数展开式，保留到包含 x3x^3 的项，并将系数写成精确形式。
  16. 16已知 f(x)=ln⁡(1+2x2)\mathrm{f}(x) = \ln(1 + 2x^2)。 多项式 p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c 用于在 1≤x≤21 \le x \le 2 内近似 f(x)\mathrm{f}(x)。已知 p(1)=f(1)p(1) = \mathrm{f}(1)…
  17. 17已知 f(x)=ln⁡(a+x)f(x)=\ln(a+x)，x∈Rx\in\mathbb{R}，x>−ax>-a，其中 aa 是常数。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求出 f(x)f(x) 展开到包含 x3x^{3} 项的级数展开式。 已知 a=1a=1。由此或用其…
  18. 18已知 f(x)=etan⁡−1x\text{f}(x) = \text{e}^{\tan^{-1} x}，其中 tan⁡−1x\tan^{-1} x 表示主值。 证明 (1+x2)f′(x)=f(x)(1 + x^2)\text{f}'(x) = \text{f}(x)。 通过对上述结果进行进一步求…
  19. 19利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 和 ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准级数，求出 ln⁡(1+x1−x)\displaystyle\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 的级数的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx…
  20. 20已知 y=1+tan⁡−12xy = \sqrt{1 + \tan^{-1} 2x}，其中 −12<x<12-\tfrac{1}{2} < x < \tfrac{1}{2}。 证明 yd2ydx2+(dydx)2+8x(1+4x2)2=0y\dfrac{d^2 y}{dx^2} + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + \dfrac{8x}{(1+4x^2)^2} = 0…
  21. 21TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln\left(2 - e^{2x}\right)，其中 x<12ln⁡2x < \tfrac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.e^y\left[\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = -4e^{2x}.…
  22. 22求 exsin⁡(x+π)\text{e}^x \sin(x + \pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知在第 (a) 部分中求得的三个项等于当 xx 较小时 ax(1+bx)cax(1+bx)^c 的级数展开式的前三个项，其中 aa、bb 和 cc 为常数…
  23. 23已知 y=cos⁡{ln⁡(1+x)}y = \cos\{\ln(1 + x)\}，证明： (1+x)dydx=−sin⁡{ln⁡(1+x)}(1 + x)\dfrac{dy}{dx} = -\sin\{\ln(1 + x)\} (1+x)2d2ydx2+(1+x)dydx+y=0.(1 + x)^2\dfrac{d^2y}{dx^2} + (1 + x)\dfrac{dy}{dx} + y = 0.…
  24. 24已知 f(x)=1+cos⁡2xf(x)=1+\cos 2x，求 f(0)f(0)，f′(0)f'(0)，f′′(0)f''(0)，f(3)(0)f^{(3)}(0) 和 f(4)(0)f^{(4)}(0)。写出 f(x)f(x) 的麦克劳林级数展开式，至包含 x4x^4 的项。 由此推出 cos⁡2x\cos^2 x…
  25. 25在三角形 ABCABC 中，AB=2AB = 2，BC=3BC = \sqrt{3}，AC=xAC = x 且角 ABC=π6+θABC = \frac{\pi}{6} + \theta（见图）。 证明 x2=7−6cos⁡θ+23sin⁡θx^{2} = 7 - 6\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta…
  26. 26变量 xx 和 yy 满足方程 y=x−cos⁡−1xy = x - \cos^{-1} x，其中 0≤x<10 \le x < 1 且 0<cos⁡−1x≤π20 < \cos^{-1} x \le \frac{\pi}{2}。 证明 d2ydx2=x(dydx−1)3\frac{d^2 y}{dx^2} = x\left(\frac{dy}{dx}-1\right)^3…
  27. 27已知 f(x)=ln⁡(a+x)\mathrm{f}(x) = \ln(a + x)，x∈Rx \in \mathbb{R}，x>−ax > -a，其中 aa 是常数。 利用公式表 (MF27) 中的标准级数，求 f(x)\mathrm{f}(x) 直到包含 x3x^3…
  28. 28已知 y=e−xln⁡(1−2x)y = \mathrm{e}^{-x}\ln(1-2x)。 证明 (1−2x)dydx=−2e−x−y(1−2x)(1-2x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -2\mathrm{e}^{-x} - y(1-2x) 并由此证明 (1−2x)d2ydx2=2dydx+4e−x+(3−2x)y.(1-2x)\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 4\mathrm{e}^{-x} + (3-2x)y .…
  29. 29函数 h 的定义如下： h:x↦ln⁡(x−k+1), x∈R, x≥k,h : x \mapsto \ln(x - k + 1),\ x \in \mathbb{R},\ x \ge k, 其中 k<0k < 0。 求 kk 的值，使得 hghg 的值域为 (ln⁡5,∞)(\ln 5,\infty)…
  30. 30变量 xx and yy 满足关系式 (x+y)dydx+ky=2andy=1 在 x=0 时,(x+y)\frac{dy}{dx} + ky = 2\quad\text{and}\quad y = 1\text{ 在 }x = 0\text{ 时}, 其中 kk 为常数。证明 (x+y)d2ydx2+(1+k)dydx+(dydx)2=0.(x+y)\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1+k)\frac{dy}{dx} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 0.…
  31. 31第一部分：纯粹数学 1 (a) 证明 11+x2−1−x2=12x2(1+x2+1−x2)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2x^{2}}\left(\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}\right)…
  32. 32已知 y=sin⁡−1xcos⁡−1xy = \sin^{-1} x \cos^{-1} x，其中 −1≤x≤1-1 \le x \le 1。 证明 1−x2dydx=cos⁡−1x−sin⁡−1x\sqrt{1-x^2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cos^{-1} x - \sin^{-1} x…
  33. 33已知 y=1+ln⁡(1+x)y = \sqrt{1+\ln(1+x)}，求使 yy 有定义时 xx 取值范围的精确值。 证明 2y dydx=e−y22y\,\dfrac{dy}{dx} = e^{-y^2}。 由此求出 1+ln⁡(1+x)\sqrt{1+\ln(1+x)} 的麦克劳林级…
  34. 34设 xx 和 yy 是满足 ln⁡(y+1)=1+tan⁡−1x\ln(y + 1) = 1 + \tan^{-1}x 的变量。 证明 (1+x2)d2ydx2=(1−2x)dydx(1+x^2)\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = (1-2x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  35. 35设 y=tan⁡(2tan⁡−1x+π4)y = \tan\left(2\tan^{-1}x + \frac{\pi}{4}\right)。 证明 (1+x2)dydx=2(1+y2)(1+x^2)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2(1+y^2)。 由此求 yy 的麦…
  36. 36已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明 d2ydx2+(dydx)2+a2=0.\frac{d^2 y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + a^2 = 0. 通过对…
  37. 37已知 y=ecos⁡−1xy = \mathrm{e}^{\cos^{-1} x}。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=y(1 - x^2)\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y…
  38. 38在本题中，你可以使用公式表（MF27）中的展开式。 求 ln⁡(1+cos⁡3x)\ln(1 + \cos 3x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林展开式，直至并包括 x4x^4 项，其中 0≤x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}。 利用第 **(i)…
  39. 39已知 y=ln⁡(cos⁡ax−sin⁡ax)y = \ln(\cos ax - \sin ax)，其中 aa 是一个非零常数。 证明：d2ydx2+(dydx)2+a2=0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + a^2 = 0…
  40. 40求 exsin⁡(x+π)e^{x}\sin(x+\pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知在部分 (a) 中求得的三个项等于当 xx 较小时 ax(1+bx)cax(1+bx)^{c} 的幂级数展开式的前三个项，其中 aa，bb 和 cc 是常数。求 aa…
  41. 41已知 f(x)=ln⁡(1+e−x)f(x) = \ln\left(1+e^{-x}\right)。 使用公式表 (MF26) 中的标准级数或其他方法，证明 f(x) 的麦克劳林级数的前三个非零项为 ln⁡a+bx+cx2\ln a + bx + cx^2，其中 a, b 和 c 是…
  42. 42已知 y=ecos⁡−1xy = e^{\cos^{-1} x}。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=y(1 - x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} - x\dfrac{dy}{dx} = y。 求 yy 的带有精确系数的麦克劳林级数，直到并包括 x3x^3 的项。…
  43. 43已知 ey=1+sin⁡3x\mathrm{e}^y = 1 + \sin 3x。 证明 d2ydx2+(dydx)2+9=9e−y.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + 9 = 9\mathrm{e}^{-y}.…
  44. 44已知 y=e1+2xy = \text{e}^{\sqrt{1+2x}}，证明： (1+2x)(dydx)2=y2and(1+2x)d2ydx2+dydx=y.(1+2x)\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^2 = y^2 \quad \text{and} \quad (1+2x)\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y.…
  45. 45在以 AA、BB 和 CC 为顶点的三角形中，角 BACBAC 是直角，且角 ABC=π3−xABC = \frac{\pi}{3} - x。 证明 ABAC=1+3tan⁡x3−tan⁡x.\frac{AB}{AC} = \frac{1+\sqrt{3}\tan x}{\sqrt{3}-\tan x}.…
  46. 46TMJC JC1 Promo 9758/2019/Q6 已知 y=ln⁡(2−e2x)y = \ln(2 - \mathrm{e}^{2x})，其中 x<12ln⁡2x < \frac{1}{2}\ln 2，证明 ey[d2ydx2+(dydx)2]=−4e2x.\mathrm{e}^y \left[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right] = -4\mathrm{e}^{2x}.…
  47. 47利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) and ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准展开式，求 ln⁡(1+x1−x)\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) 展开式的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx 值，求 ∑r=0∞1(2r+1)4r.\displaystyle\sum_{r=0}^{\infty}\frac{1}{(2r+1)4^r}.…
  48. 48使用常用级数，求 11−a2x2\dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} 的麦克劳林级数展开式，展开到包含 x4x^4 的项为止，其中 aa 是正常数。并求出使该展开式成立的 xx 的取值范围（用 aa 表示）。 使用常用级数…
  49. 49求 exsin⁡(x+π)e^{x}\sin(x+\pi) 的麦克劳林级数的前三个非零项。 已知对于微小的 xx，在 (a) 部分中求得的三个项等于 ax(1+bx)ca x (1 + b x)^{c} 的级数展开式的前三个项，其中 aa、bb 和 cc 是常数。…
  50. 50已知 f(x)=11−4x2\text{f}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}}，其中 −12<x<12-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}。 利用公式表（MF27）中的标准级数，求 f(x)\text{f}(x) 的麦克劳…
  51. 51已知 y=(1+tan⁡−1x)2y = (1 + \tan^{-1} x)^2。 证明 (1+x2)2d2ydx2+2x(1+x2)dydx=2(1 + x^2)^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 2x(1 + x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2…
  52. 52已知 y=12ln⁡(1+tan⁡x)y = \tfrac{1}{2}\ln\left(1 + \tan x\right)，证明 2e2ydydx=sec⁡2x.2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} = \sec^2 x. 由此写出 yy 的麦克劳林级数的前两个非零项。 已知 yy…
  53. 53在本题中，你可以使用公式表（MF26）中的展开式。 已知 f(x)=esin⁡3x\mathrm{f}(x) = \mathrm{e}^{\sin 3x}，求出 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林级数展开式，直到包含 x2x^2…
  54. 54已知 y=cot⁡(x+a)y = \cot(x + a)，其中 aa 为常数。 证明 dydx=−(1+y2)\dfrac{dy}{dx} = -\bigl(1 + y^2\bigr)，并由此求出用 yy 表示的 d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2} 和 d3ydx3\dfrac{d^3y}{dx^3}…
  55. 55已知 y=13+sin⁡2xy = \dfrac{1}{3 + \sin 2x}。 证明 d2ydx2−4y2sin⁡2x+4ydydxcos⁡2x=0\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - 4y^2 \sin 2x + 4y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cos 2x = 0…
  56. 56已知 y=ln⁡(2−e−2x).y = \ln\left(2 - e^{-2x}\right). 证明 dydx=4e−y−2\dfrac{dy}{dx} = 4e^{-y} - 2。 由此求 yy 的麦克劳林级数，展开至包含 x2x^2 的项。 利用公式表（MF26）中的标准…
  57. 57已知 y=(cos⁡−1x)2y=(\cos^{-1} x)^2。 证明 (1−x2)d2ydx2−xdydx=2(1-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-x\dfrac{dy}{dx}=2。 由此求 (cos⁡−1x)2(\cos^{-1} x)^2 的麦克劳林级数，展开到包含 x3x^3 的项为止…