草拟 $y = \frac{4-x}{2+3x-2x^2}$ 的图像。给出渐近线的方程以及曲线与 $x$ 轴交点的坐标。 解不等式 $\frac{4-x}{2+3x-2x^2} > 0$。 由此解不等式 $\frac{4-|x|}{2+3|x|-2x^2} > 0$。

1. 求函数的垂直渐近线与水平渐近线

将分母因式分解：$2 + 3x - 2x^2 = (1 + 2x)(2 - x)$。
令分母为 $0$，即 $(1 + 2x)(2 - x) = 0$，解得 x = -rac{1}{2} 或 $x = 2$。
因此，垂直渐近线方程为 x = -rac{1}{2} 和 $x = 2$。
当 $x o \pm\infty$ 时，y = rac{4-x}{2+3x-2x^2} \approx rac{-x}{-2x^2} = rac{1}{2x} o 0。
因此，水平渐近线方程为 $y = 0$。

2. 求曲线与 $x$ 轴的交点坐标

令 $y = 0$，则分子 $4 - x = 0$，解得 $x = 4$。
因此，曲线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(4, 0)$。
（注：当 $x = 0$ 时，$y = 2$，即 $y$ 轴交点为 $(0, 2)$）。

3. 绘制函数图象草图

画出渐近线 x = -rac{1}{2}、$x = 2$ 和 $y = 0$（即 $x$ 轴），标出交点 $(4, 0)$ 及 $(0, 2)$。
分析各区间函数值的正负性及趋势：

• 当 x < -rac{1}{2} 时，图象在第三象限，沿渐近线 $y = 0$ 和 x = -rac{1}{2} 趋近于 $-\infty$；
• 当 -rac{1}{2} < x < 2 时，图象过 $(0, 2)$，两端分别沿 x = -rac{1}{2} 和 $x = 2$ 趋近于 $+\infty$；
• 当 $2 < x < 4$ 时，$y < 0$；当 $x = 4$ 时，$y = 0$；当 $x > 4$ 时，$y > 0$，且当 $x o +\infty$ 时，$y o 0^+$。
  据此勾勒出平滑曲线。

1. 利用图象或符号法确定分式不等式的解集

要求 rac{4-x}{2+3x-2x^2} > 0，即寻找函数 y = rac{4-x}{2+3x-2x^2} 图象位于 $x$ 轴上方（$y > 0$）的 $x$ 取值范围。
由（a）小问的图象可知：

• 在区间 (-rac{1}{2}, 2) 内，$y > 0$；
• 在区间 $(4, +\infty)$ 内，$y > 0$。
  因此，不等式的解集为 -rac{1}{2} < x < 2 或 $x > 4$。

1. 对比前一问将不等式转化为关于 $|x|$ 的不等式

注意 $x^2 = |x|^2$，故原不等式可写为：
$\frac{4-|x|}{2+3|x|-2|x|^2} > 0$
设 $X = |x|$，则不等式化为：
$\frac{4-X}{2+3X-2X^2} > 0$

2. 复用（b）小问结论求出 $X$ 的范围并解出 $x$

由（b）小问可知，该不等式的解为：
$-\frac{1}{2} < X < 2 \quad \text{或} \quad X > 4$
即：
$-\frac{1}{2} < |x| < 2 \quad \text{或} \quad |x| > 4$
由于对任意实数 $x$，均有 $|x| \geqslant 0$：

1. $-\frac{1}{2} < |x| < 2$ 等价于 $0 \leqslant |x| < 2$，解得 $-2 < x < 2$；
2. $|x| > 4$ 解得 $x < -4$ 或 $x > 4$。

3. 合并各部分解集得到最终结果

综上所述，原不等式的解集为 $x < -4$ 或 $-2 < x < 2$ 或 $x > 4$。