有且仅有15个不同的因数的最小奇数是 ___ ．

1. 分析因数个数公式与指数可能的分拆

设该正奇数的质因数分解式为 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中 $p_1, p_2, \dots, p_k$ 均为奇质数（$p_i \ge 3$）。
根据因数个数公式，其因数个数为：
$(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1) = 15$
将 15 分解为大于 1 的整数乘积，只有两种情况：

1. $15 = 15$
2. $15 = 5 \times 3$

2. 分类讨论并构造每种情形下的最小奇数

针对两种分拆情形寻找可能的最小奇数：

• 情形 1：$a_1 + 1 = 15 \implies a_1 = 14$。
  此时 $n = p_1^{14}$，取最小的奇质数 $p_1 = 3$，得：
  $n = 3^{14} = 4\,782\,969$

• 情形 2：$(a_1 + 1)(a_2 + 1) = 5 \times 3 \implies a_1 = 4, a_2 = 2$。
  此时 $n = p_1^4 p_2^2$。为使 $n$ 最小，应将较大的指数分配给较小的奇质数，即取 $p_1 = 3, p_2 = 5$：
  $n = 3^4 \times 5^2 = 81 \times 25 = 2025$

比较两情形的结果：$2025 < 4\,782\,969$，因此满足条件的最小奇数是 $2025$。