若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象,则称n为“连加进位数”.例如:2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0,1,2,…,99这100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是( )
A. 0.88
B. 0.89
C. 0.90
D. 0.91

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完整解法

1. 理解“连加进位数”的定义并分类讨论其进位发生的条件

由题意,自然数 nn 使得 n+(n+1)+(n+2)n + (n+1) + (n+2) 在加法运算中产生进位,则称其为“连加进位数”。对于两位数或个位数 nn,设 n=10a+bn = 10a + b,其中 a∈{0,1,…,9}a \in \{0, 1, \dots, 9\},b∈{0,1,…,9}b \in \{0, 1, \dots, 9\}。进位可以发生在个位,也可以发生在十位。

2. 分析个位产生进位的条件

当 b∈{0,1,2,3,4,5,6,7}b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} 时,三个数的个位数分别为 b,b+1,b+2b, b+1, b+2,其和为 3b+33b + 3。若产生进位,则有 3b+3≥103b + 3 \ge 10,解得 b≥3b \ge 3,即 b∈{3,4,5,6,7}b \in \{3, 4, 5, 6, 7\}。
当 b=8b = 8 时,个位数分别为 8,9,08, 9, 0,和为 17≥1017 \ge 10,产生进位。
当 b=9b = 9 时,个位数分别为 9,0,19, 0, 1,和为 10≥1010 \ge 10,产生进位。
综上,只要个位数字 b∈{3,4,5,6,7,8,9}b \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\},就一定会产生个位到十位的进位。

3. 分析十位产生进位而个位不产生进位的条件

若个位不产生进位,则 b∈{0,1,2}b \in \{0, 1, 2\}。此时,三个数 n,n+1,n+2n, n+1, n+2 的十位数字均为 aa。由于个位之和为 3b+3≤93b+3 \le 9,无进位,故十位数字之和为 3a3a。若十位产生向百位的进位,则需要 3a≥103a \ge 10,即 a∈{4,5,6,7,8,9}a \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}。

4. 运用补集思想求不产生进位的数字个数

不产生进位的 n=10a+bn = 10a + b 必须满足:个位不进位且十位不进位,即 b∈{0,1,2}b \in \{0, 1, 2\} 且 a∈{0,1,2,3}a \in \{0, 1, 2, 3\}。
其中 bb 有 3 种选择,aa 有 4 种选择。根据分步乘法计数原理,不产生进位的自然数共有 3×4=123 \times 4 = 12 个(即 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 30, 31, 32)。

5. 计算连加进位数的个数及所求概率

在 0,1,2,…,990, 1, 2, \dots, 99 这 100 个自然数中,“连加进位数”的个数为 100−12=88100 - 12 = 88 个。
因此,任取一个数是“连加进位数”的概率为 P=88100=0.88P = \frac{88}{100} = 0.88。
故选 A。

答案

A

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