若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象,则称n为“连加进位数”.例如:2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0,1,2,…,99这100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是( )A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.91
A. 0.88
B. 0.89
C. 0.90
D. 0.91
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完整解法
1. 理解“连加进位数”的定义并分类讨论其进位发生的条件
由题意,自然数 使得 在加法运算中产生进位,则称其为“连加进位数”。对于两位数或个位数 ,设 ,其中 ,。进位可以发生在个位,也可以发生在十位。
2. 分析个位产生进位的条件
当 时,三个数的个位数分别为 ,其和为 。若产生进位,则有 ,解得 ,即 。
当 时,个位数分别为 ,和为 ,产生进位。
当 时,个位数分别为 ,和为 ,产生进位。
综上,只要个位数字 ,就一定会产生个位到十位的进位。
3. 分析十位产生进位而个位不产生进位的条件
若个位不产生进位,则 。此时,三个数 的十位数字均为 。由于个位之和为 ,无进位,故十位数字之和为 。若十位产生向百位的进位,则需要 ,即 。
4. 运用补集思想求不产生进位的数字个数
不产生进位的 必须满足:个位不进位且十位不进位,即 且 。
其中 有 3 种选择, 有 4 种选择。根据分步乘法计数原理,不产生进位的自然数共有 个(即 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 30, 31, 32)。
5. 计算连加进位数的个数及所求概率
在 这 100 个自然数中,“连加进位数”的个数为 个。
因此,任取一个数是“连加进位数”的概率为 。
故选 A。
答案
A
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