已知函数$f(x)=x^{3}+x-16.(1)$求曲线$y=f(x)$在点$(2,-6)$处的切线方程$;(2)$直线$l$为曲线$y=f(x)$的切线，且经过原点，求直线$l$的方程及切点坐标.

1. 求出函数的导函数

对函数 $f(x)=x^3+x-16$ 求导，得：
$f'(x) = 3x^2 + 1$

2. 检验点是否在曲线上并求出切线斜率

将 $x=2$ 代入函数原解析式，得 $f(2) = 2^3+2-16 = -6$，所以点 $(2,-6)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上。
切线斜率 $k$ 为该点处的导数值：
$k = f'(2) = 3 \times 2^2 + 1 = 13$

3. 写出切线方程并化简

根据点斜式，切线方程为：
$y - (-6) = 13(x - 2)$
化简整理得：
$y = 13x - 32$

1. 设切点并写出含有切点参数的切线方程

设切点为 $(x_0, y_0)$，则 $y_0 = x_0^3 + x_0 - 16$。
切线的斜率为 $k = f'(x_0) = 3x_0^2 + 1$。
所以切线 $l$ 的方程为：
$y - (x_0^3 + x_0 - 16) = (3x_0^2 + 1)(x - x_0)$

2. 代入已知点（原点）求出切点横坐标

因为直线 $l$ 经过原点 $(0,0)$，将 $x=0, y=0$ 代入切线方程中：
$-(x_0^3 + x_0 - 16) = (3x_0^2 + 1)(0 - x_0)$
化简整理得：
$-x_0^3 - x_0 + 16 = -3x_0^3 - x_0$
$2x_0^3 = -16$
$x_0^3 = -8$
解得 $x_0 = -2$。

3. 求出切点坐标及切线方程

将 $x_0 = -2$ 代入 $y_0 = x_0^3 + x_0 - 16$ 得：
$y_0 = (-2)^3 + (-2) - 16 = -26$
所以切点坐标为 $(-2, -26)$。
切线斜率 $k = 3 \times (-2)^2 + 1 = 13$。
所以直线 $l$ 的方程为：
$y = 13x$