(1)求经过点$P(4,1)$，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． (2)设直线$y=x+2a$与圆$C$：$x^{2}+y^{2}-2ay-2=0$相交于$A$，$B$两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，求圆$C$的面积．

1. 分析截距为0的情况并求出直线方程

当直线在两坐标轴上的截距为 $0$ 时，直线过原点 $(0,0)$．
因为直线经过点 $P(4,1)$，所以直线的斜率 $k = \dfrac{1-0}{4-0} = \dfrac{1}{4}$．
此时直线的方程为 $y = \dfrac{1}{4}x$，即 $x - 4y = 0$．

2. 分析截距不为0的情况并求出直线方程

当直线在两坐标轴上的截距不为 $0$ 且相等时，设直线方程的截距式为 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1$ ($a \neq 0$)，即 $x + y = a$．
因为直线经过点 $P(4,1)$，代入得 $4 + 1 = a$，解得 $a = 5$．
此时直线的方程为 $x + y - 5 = 0$．

3. 总结得出最终结果

综上所述，所求直线的方程为 $x - 4y = 0$ 或 $x + y - 5 = 0$．

1. 化圆的方程为标准方程并求出圆心和半径

将圆 $C$ 的方程 $x^2 + y^2 - 2ay - 2 = 0$ 化为标准方程为：$x^2 + (y-a)^2 = a^2 + 2$．
由此可得，圆心为 $C(0, a)$，半径 $r = \sqrt{a^2 + 2}$．

2. 求出圆心到直线的距离

将直线 $y = x + 2a$ 化为一般式：$x - y + 2a = 0$．
则圆心 $C(0, a)$ 到直线的距离为：
$d = \dfrac{|0 - a + 2a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|a|}{\sqrt{2}}$．

3. 利用垂径定理及勾股定理列式求参数

因为相交弦长 $|AB| = 2\sqrt{3}$，所以半弦长为 $\sqrt{3}$．
根据垂径定理和勾股定理可得：$d^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$，即 $\left(\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3 = a^2 + 2$．
整理得：$\dfrac{a^2}{2} + 3 = a^2 + 2$，解得 $a^2 = 2$．

4. 计算圆C的面积

因为 $a^2 = 2$，所以圆的半径平方 $r^2 = a^2 + 2 = 4$．
所以圆 $C$ 的面积为 $S = \pi r^2 = 4\pi$．