如果x21−2k−y2k−2=1 \dfrac {x^{2}}{1-2k}- \dfrac {y^{2}}{k-2}=1表示焦点在yy轴上的双曲线,那么实数kk的取值范围是()()
A. (12,2)( \dfrac {1}{2},2)
B. (12,1)∪(1,2)( \dfrac {1}{2},1)∪(1,2)
C. (1,2)(1,2)
D. (12,∞)( \dfrac {1}{2},∞)

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完整解法

1. 将给定双曲线方程变形为便于与标准方程对比的形式

原方程为 x21−2k−y2k−2=1\dfrac{x^2}{1-2k} - \dfrac{y^2}{k-2} = 1,
将其变形为:y22−k+x21−2k=1\dfrac{y^2}{2-k} + \dfrac{x^2}{1-2k} = 1。

2. 根据焦点在 $y$ 轴上的双曲线标准方程的特征列出关于 $k$ 的不等式组

焦点在 yy 轴上的双曲线标准方程形式为 y2a2−x2b2=1\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1(其中 a2>0,b2>0a^2 > 0, b^2 > 0),
对比可得 y2y^2 项的系数分母为正且 x2x^2 项的系数分母为负,
因此必须满足:
{2−k>01−2k<0\begin{cases} 2-k > 0 \\ 1-2k < 0 \end{cases}
即:
{k−2<01−2k<0\begin{cases} k - 2 < 0 \\ 1 - 2k < 0 \end{cases}

3. 求解不等式组得到实数 $k$ 的取值范围

解不等式 2−k>02-k > 0 得 k<2k < 2,
解不等式 1−2k<01-2k < 0 得 k>12k > \dfrac{1}{2},
所以不等式组的解集为 12<k<2\dfrac{1}{2} < k < 2,
即实数 kk 的取值范围是 (12,2)(\dfrac{1}{2}, 2)。
结合选项,应选 A。

答案

A

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