对于正数$x$，规定$f(x)=\dfrac{1}{1+x}$，例如$f(4)=\dfrac{1}{1+4}=\dfrac{1}{5}$，$f(\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{5}$，则$f(2021)+f(2020)+$…$+f(2)+f(1)+f(\dfrac{1}{2})+$…$+f(\dfrac{1}{2020})+f(\dfrac{1}{2021})$的结果是$(\quad)$

A. $\dfrac{4039}{2}$

B. $4039$

C. $\dfrac{4041}{2}$

D. $4041$

1. 探索函数值的规律，推导 $f(x) + f(\dfrac{1}{x})$ 的关系式

根据定义，我们尝试计算一些特殊的值，探寻规律：
对于正数 $x$，有 $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$，
则 $f(\dfrac{1}{x}) = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = \dfrac{x}{x+1}$。
将两者相加可得：
$f(x) + f(\dfrac{1}{x}) = \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{1+x}{1+x} = 1$。
例如：
$f(2) + f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$，
$f(3) + f(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$。

2. 将待求式子进行分组配对，并求出最终代数式的值

原式可以重新分组排列为：
$\left[f(2021) + f(\dfrac{1}{2021})\right] + \left[f(2020) + f(\dfrac{1}{2020})\right] + \dots + \left[f(2) + f(\dfrac{1}{2})\right] + f(1)$
从 $2$ 到 $2021$ 共有 $2021 - 2 + 1 = 2020$ 个项，即有 $2020$ 对两两配对的项。
每一对的和均为 $1$。
单独剩下的项为 $f(1) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$。
因此，整个式子的结果为：
$2020 \times 1 + f(1) = 2020 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4041}{2}$。
故正确选项为 C。