给出下列$4$个命题：其中正确的命题是$(\quad)$

A. 函数$y=\tan x$的图象关于点$\left(kπ+\dfrac{π}{2},0\right)$，$k\in Z$对称

B. 函数$f(x)=\sin|x|$是最小正周期为$π$的周期函数

C. 设$θ$为第二象限角，则$\tan\dfrac{θ}{2}>\cos\dfrac{θ}{2}$，且$\sin\dfrac{θ}{2}>\cos\dfrac{θ}{2}$

D. 函数$y=\cos^{2}x+\sin x$的最小值为$-1$

1. 分析并判断命题A的真假

对于A，正切函数 $y=\tan x$ 的对称中心为 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$ ($k \in \mathbb{Z}$)。
当 $k$ 取奇数时，对称中心即为 $\left(n\pi + \dfrac{\pi}{2}, 0\right)$ ($n \in \mathbb{Z}$)。
虽然函数在这些点处无定义，但其图象关于这些点依然呈中心对称。故A正确。

2. 分析并判断命题B的真假

对于B，函数 $f(x)=\sin|x|$ 是偶函数。当 $x > 0$ 时，$f(x)=\sin x$。
若其最小正周期为 $\pi$，则应有 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = f\left(\dfrac{\pi}{2} + \pi\right) = f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$。
然而 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1$，$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{3\pi}{2} = -1$，二者不相等。故该函数不是周期函数，B错误。

3. 分析并判断命题C的真假

对于C，因为 $\theta$ 是第二象限角，所以 $2k\pi + \dfrac{\pi}{2} < \theta < 2k\pi + \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)。
两边除以 2 得 $k\pi + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\theta}{2} < k\pi + \dfrac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$)。
当 $k$ 为偶数时，$\dfrac{\theta}{2}$ 在第一象限，此时 $\sin\dfrac{\theta}{2} > \cos\dfrac{\theta}{2} > 0$ 成立；
当 $k$ 为奇数时，$\dfrac{\theta}{2}$ 在第三象限，此时 $\sin\dfrac{\theta}{2} < 0$ 且 $\cos\dfrac{\theta}{2} < 0$。
具体地，由于 $\pi + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\theta}{2} < \pi + \dfrac{\pi}{2}$，其终边更靠近 $y$ 轴负半轴，因此 $\sin\dfrac{\theta}{2} < \cos\dfrac{\theta}{2} < 0$，即 $\sin\dfrac{\theta}{2} > \cos\dfrac{\theta}{2}$ 不成立。故C错误。

4. 分析并判断命题D的真假

对于D，函数 $y = \cos^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x + \sin x$。
设 $t = \sin x$，因为 $x \in \mathbb{R}$，所以 $t \in [-1, 1]$。
原函数可化为关于 $t$ 的二次函数 $g(t) = -t^2 + t + 1 = -\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4}$。
该二次函数的图象开口向下，对称轴为 $t = \dfrac{1}{2}$。
当 $t$ 距离对称轴最远，即 $t = -1$ 时，函数取得最小值：
$g(-1) = -(-1)^2 + (-1) + 1 = -1$。
因此函数的最小值为 $-1$，故D正确。