已知函数$f(x)=\log_{2}(x+1).(Ⅰ)$若$f(x)+f(x-1)>0$成立，求$x$的取值范围； $(Ⅱ)$若定义在$R$上的奇函数$g(x)$满足$g(x+2)=-g(x)$，且当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$g(x)=f(x)$，求$g(x)$在$[-3,-1]$上的解析式，并写出$g(x)$在$[-3,3]$上的单调区间$($不必证明$)$；

1. 列出不等式并确定其定义域

由 $f(x)+f(x-1)>0$ 得 $\log_{2}(x+1)+\log_{2}x>0$.
根据对数函数定义域要求，自变量需满足：
$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$

2. 求解一元二次不等式并得到最终取值范围

由对数运算性质，原不等式化为 $\log_{2}[x(x+1)] > 0 = \log_{2}1$.
因为底数 $2 > 1$，所以对数函数单调递增，故有：
$x(x+1) > 1 \implies x^2+x-1 > 0$
解得 $x > \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $x < \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
结合定义域 $x > 0$，可得 $x > \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
故 $x$ 的取值范围是 $(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2},+\infty)$.

1. 通过区间转化和函数性质求解 $x \in [-3, -2]$ 时的解析式

当 $-3\leqslant x\leqslant-2$ 时，可得 $-1\leqslant x+2\leqslant 0$，进而有 $0\leqslant -x-2\leqslant 1$.
因为 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且满足 $g(x+2)=-g(x)$，所以 $g(x)=-g(x+2)$.
同时 $g(x+2)=-g(-x-2)$，两式结合可得 $g(x)=g(-x-2)$.
因为当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，$g(x)=f(x)=\log_{2}(x+1)$，
所以 $g(x)=f(-x-2)=\log_{2}(-x-2+1)=\log_{2}(-x-1)$.

2. 通过区间转化和函数性质求解 $x \in (-2, -1]$ 时的解析式

当 $-2 < x \leqslant -1$ 时，可得 $0 < x+2 \leqslant 1$.
根据 $g(x)=-g(x+2)$，且在 $(0,1]$ 上 $g(x)=f(x)$，可得：
$g(x) = -f(x+2) = -\log_{2}(x+3)$.
综上所述，当 $x \in [-3, -1]$ 时，解析式为：
$g(x)=\begin{cases}\log_{2}(-1-x), & -3\leqslant x\leqslant-2 \\ -\log_{2}(3+x), & -2< x\leqslant-1 \end{cases}$

3. 利用周期性和奇偶性写出单调区间

由 $g(x+2)=-g(x)$ 可知 $g(x+4)=g(x)$，即 $g(x)$ 是周期为 $4$ 的周期函数。
在 $[0, 1]$ 上，$g(x)=\log_2(x+1)$ 为单调递增函数。
由于 $g(x)$ 是奇函数，在 $[-1, 0]$ 上 $g(x)$ 同样单调递增，故 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上单调递增。
根据周期性和奇偶性可推知，
$g(x)$ 在 $[-3,-1]$ 和 $[1,3]$ 上单调递减；在 $[-1,1]$ 上单调递增。
所以单调递增区间为 $[-1,1]$，单调递减区间为 $[-3,-1]$ 和 $[1,3]$.