设函数$y=f(x)$是定义在$(0,+∞)$上的增函数，并满足$f(x,y)=f(x)+f(y)$，$f(4)=1(1)$求$f(1)$的值； (2)若存在实数$m$，使$f(m)=2$，求$m$的值 (3)如果$f(x^{2}-4x-5) < 2$求$x$的范围．

1. 求出 $f(1)$ 的值

令 $x=y=1$，代入已知关系式 $f(xy)=f(x)+f(y)$，可得：
$f(1) = f(1) + f(1)$
解得：
$f(1) = 0$

1. 利用赋值法求出 $f(16)$ 的值

根据关系式 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 以及已知条件 $f(4)=1$，令 $x=y=4$，代入可得：
$f(16) = f(4 \times 4) = f(4) + f(4) = 1 + 1 = 2$

2. 结合函数的单调性确定 $m$ 的值

因为 $f(m)=2$，所以 $f(m) = f(16)$。
又因为函数 $y=f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的增函数，其在定义域内任意自变量对应唯一函数值，
因此由 $f(m) = f(16)$ 可得：
$m = 16$

1. 利用定义域与单调性将抽象函数不等式转化为代数不等式组

由第(2)问可知 $f(16)=2$，所以不等式 $f(x^{2}-4x-5) < 2$ 可化为：
$f(x^{2}-4x-5) < f(16)$
因为函数 $y=f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的增函数，
所以该不等式等价于定义域限制与大小关系的结合：
$\begin{cases} x^{2}-4x-5 > 0 \\ x^{2}-4x-5 < 16 \end{cases}$

2. 解一元二次不等式组求得 $x$ 的取值范围

解第一个不等式 $x^{2}-4x-5 > 0$：
因式分解得 $(x-5)(x+1) > 0$，解得 $x > 5$ 或 $x < -1$。

解第二个不等式 $x^{2}-4x-5 < 16$，即 $x^{2}-4x-21 < 0$：
因式分解得 $(x-7)(x+3) < 0$，解得 $-3 < x < 7$。

取这两个不等式解集的交集：
$\begin{cases} x > 5 \text{ 或 } x < -1 \\ -3 < x < 7 \end{cases}$
解得：$-3 < x < -1$ 或 $5 < x < 7$。

因此，$x$ 的取值范围是 $\{x | -3 < x < -1 \text{ 或 } 5 < x < 7\}$。