【例 10】黑板上一共写了 10115 个数字，包括 2021 个 1，2022 个 2，2023 个 3，2024 个 4，2025 个 5. 每次操作都擦去其中 4 个不同的数字并写上一个第 5 种数字（例如擦去 1、2、3、4 各 1 个，写上 1 个 5，或者擦去 2、3、4、5 各一个，写上一个 1 等等）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是多少？

1. 计算初始数字总数及达到最终状态需要的操作次数

初始时，黑板上的数字总数为：
$2021 + 2022 + 2023 + 2024 + 2025 = 10115$

每次操作擦去 4 个数字并写上 1 个数字，因此每次操作后黑板上的数字总数减少：
$4 - 1 = 3$

要使黑板上最终恰好剩下 2 个数字，一共需要减少 $10115 - 2 = 10113$ 个数字。
故总操作次数为：
$N = \frac{10113}{3} = 3371$
注意到 3371 是一个奇数。

2. 分析单次操作对各数字个数奇偶性的影响规律

设 1, 2, 3, 4, 5 这五种数字的个数分别为 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$。
在每一次操作中：

• 有 4 种数字的个数分别减少 1（即 $x_i \to x_i - 1$）；
• 剩余 1 种数字的个数增加 1（即 $x_j \to x_j + 1$）。

由于任何整数加 1 或减 1 都会改变其奇偶性，因此每一次操作都会使全部 5 种数字的个数奇偶性同时发生改变（颠倒）。

3. 确定奇数次操作后各数字个数的奇偶性，并求出最终两数的乘积

初始时，各数字个数的奇偶性为：

• 数字 1 的个数：2021（奇数）
• 数字 2 的个数：2022（偶数）
• 数字 3 的个数：2023（奇数）
• 数字 4 的个数：2024（偶数）
• 数字 5 的个数：2025（奇数）

因为一共进行了 3371 次（奇数次）操作，所以每种数字个数的奇偶性都刚好改变一次：

• 数字 1、3、5 的个数变为偶数；
• 数字 2、4 的个数变为奇数。

由于黑板上最终只剩下 2 个数字（即 5 个个数之和为 2），且非负奇数最小为 1：

• 数字 2 的个数必须 $\geqslant 1$；
• 数字 4 的个数必须 $\geqslant 1$。

因此，剩下的 2 个数字必须恰好是 2 和 4，其余数字的个数均为 0。
这两个数字的乘积为：
$2 \times 4 = 8$