小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有$10$颗珠子”.小刚却说：“只要把你的$\dfrac {1}{3}$给我，我就有$10$颗”，如果设小刚的弹珠数为$x$颗，小龙的弹珠数为$y$颗，则列出的方程组正确的是$()$

A. $\begin{cases} \overset{x+2y=20}{3x+y=30}\end{cases}$

B. $\begin{cases} \overset{x+2y=10}{3x+y=10}\end{cases}$

C. $\begin{cases} \overset{x+2y=20}{3x+y=10}\end{cases}$

D. $\begin{cases} \overset{x+2y=10}{3x+y=30}\end{cases}$

1. 根据“小龙得到小刚珠子的一半后有10颗”列出第一个方程并化简

由题意可知，小龙原有 $y$ 颗珠子，得到小刚珠子的一半（即 $\frac{1}{2}x$ 颗）后有 $10$ 颗，由此可以列出方程：
$y + \frac{1}{2}x = 10$
根据等式的性质，方程两边同乘以 $2$，化简整理得：
$x + 2y = 20$

2. 根据“小刚得到小龙珠子的三分之一后有10颗”列出第二个方程并化简

由题意可知，小刚原有 $x$ 颗珠子，得到小龙珠子的 $\frac{1}{3}$（即 $\frac{1}{3}y$ 颗）后有 $10$ 颗，由此可以列出方程：
$x + \frac{1}{3}y = 10$
根据等式的性质，方程两边同乘以 $3$，化简整理得：
$3x + y = 30$

3. 联立方程组并对应选项

将上述两个方程联立，可得方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 20 \\ 3x + y = 30 \end{cases}$
对比选项，选项 A 与之完全符合。

故选：A。