我们知道$1\leqslant\sqrt{3}< 2$，那么$\sqrt{3}$的整数部分就是$1.$如果$a$为$\sqrt{17}$的整数部分，且关于$x$的不等式$ax+m>1$只有$2$个负整数解，则实数$m$的取值范围是 ___.

1. 确定 $\sqrt{17}$ 的整数部分 $a$ 的值

因为 $16 < 17 < 25$，所以 $4 < \sqrt{17} < 5$。
因此，$\sqrt{17}$ 的整数部分为 $4$，即 $a = 4$。

2. 将 $a$ 代入不等式并解出关于 $x$ 的不等式

将 $a = 4$ 代入不等式 $ax + m > 1$，得：
$4x + m > 1$
解得：
$x > \frac{1 - m}{4}$

3. 根据“只有 2 个负整数解”确定关于 $m$ 的不等式组

因为关于 $x$ 的不等式 $x > \frac{1 - m}{4}$ 只有 $2$ 个负整数解，
所以这两个负整数解只能是 $-1$ 和 $-2$。
因此，$-3$ 不能是该不等式的解，而 $-2$ 必须是该不等式的解。
结合数轴可知：
$-3 \leqslant \frac{1 - m}{4} < -2$

4. 解不等式组求出 $m$ 的取值范围

由 $-3 \leqslant \frac{1 - m}{4} < -2$，
各部分同乘以 $4$ 得：
$-12 \leqslant 1 - m < -8$
各部分减去 $1$ 得：
$-13 \leqslant -m < -9$
各部分同乘以 $-1$，并改变不等号方向得：
$9 < m \leqslant 13$
所以，实数 $m$ 的取值范围是 $9 < m \leqslant 13$。