在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. Ⅰ求直线和曲线的极坐标方程; Ⅱ已知直线上一点的极坐标为,其中射线与曲线交于不同于极点的点,求的值.
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完整解法
(Ⅰ)
1. 求直线 $l$ 的极坐标方程
由直线 的参数方程 ,
由第二式得 ,代入第一式可得:
,即直角坐标方程为 。
将 , 代入,得:
(或化为 )。
2. 求曲线 $C$ 的极坐标方程
由曲线 的参数方程 ,
变形得 ,。
两式平方相加消去参数 ,得直角坐标方程为:
,即 。
将 , 代入,得:
。
因为极点在曲线 上(对应 ),故曲线 的极坐标方程可简化为:
。
答案
直线 的极坐标方程为 (或 );
曲线 的极坐标方程为 。
(Ⅱ)
1. 确定点 $M$ 的极角 $\theta$
已知点 在直线 上,其极坐标为 ,其中 。
将 代入直线 的极坐标方程 ,得:
,
即 。
因为 ,所以 。
故 ,解得 。
2. 求点 $N$ 的极径及线段 $|MN|$ 的长
射线 的极坐标方程为 ()。
将 代入曲线 的极坐标方程 ,得点 的极径:
。
因为点 与点 均在射线 上,极径分别为 和 ,
所以 。
答案
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