在直角坐标系xOyxOy中,直线ll的参数方程为{x=23−32ty=12t(t \begin{cases} x=2 \sqrt {3}- \dfrac { \sqrt {3}}{2}t \\ y= \dfrac {1}{2}t\end{cases}(t为参数)),曲线CC的参数方程为{x=3+3cos⁡αy=3sin⁡α(α \begin{cases} x= \sqrt {3}+ \sqrt {3}\cos α \\ y= \sqrt {3}\sin α\end{cases}(α为参数).).以坐标原点OO为极点,xx轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ((Ⅰ))求直线ll和曲线CC的极坐标方程; ((Ⅱ))已知直线ll上一点MM的极坐标为(2,θ)(2,θ),其中θ∈(0,π2).θ∈(0, \dfrac {π}{2}).射线OMOM与曲线CC交于不同于极点的点NN,求∣MN∣|MN|的值.

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完整解法

(Ⅰ)

1. 求直线 $l$ 的极坐标方程

由直线 ll 的参数方程 {x=23−32ty=12t\begin{cases} x=2 \sqrt {3}- \dfrac { \sqrt {3}}{2}t \\ y= \dfrac {1}{2}t\end{cases},
由第二式得 t=2yt = 2y,代入第一式可得:
x=23−3yx = 2\sqrt{3} - \sqrt{3}y,即直角坐标方程为 x+3y−23=0x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0。
将 x=ρcos⁡θx = \rho\cos\theta,y=ρsin⁡θy = \rho\sin\theta 代入,得:
ρcos⁡θ+3ρsin⁡θ=23\rho\cos\theta + \sqrt{3}\rho\sin\theta = 2\sqrt{3}
(或化为 ρsin⁡(θ+π6)=3\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3})。

2. 求曲线 $C$ 的极坐标方程

由曲线 CC 的参数方程 {x=3+3cos⁡αy=3sin⁡α\begin{cases} x= \sqrt {3}+ \sqrt {3}\cos α \\ y= \sqrt {3}\sin α\end{cases},
变形得 x−3=3cos⁡αx - \sqrt{3} = \sqrt{3}\cos\alpha,y=3sin⁡αy = \sqrt{3}\sin\alpha。
两式平方相加消去参数 α\alpha,得直角坐标方程为:
(x−3)2+y2=3(x - \sqrt{3})^2 + y^2 = 3,即 x2+y2−23x=0x^2 + y^2 - 2\sqrt{3}x = 0。
将 x2+y2=ρ2x^2 + y^2 = \rho^2,x=ρcos⁡θx = \rho\cos\theta 代入,得:
ρ2−23ρcos⁡θ=0\rho^2 - 2\sqrt{3}\rho\cos\theta = 0。
因为极点在曲线 CC 上(对应 ρ=0\rho = 0),故曲线 CC 的极坐标方程可简化为:
ρ=23cos⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\cos\theta。

答案

直线 ll 的极坐标方程为 ρcos⁡θ+3ρsin⁡θ=23\rho\cos\theta + \sqrt{3}\rho\sin\theta = 2\sqrt{3}(或 ρsin⁡(θ+π6)=3\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3});
曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=23cos⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\cos\theta。

(Ⅱ)

1. 确定点 $M$ 的极角 $\theta$

已知点 MM 在直线 ll 上,其极坐标为 (2,θ)(2, \theta),其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)。
将 ρM=2\rho_M = 2 代入直线 ll 的极坐标方程 ρ(cos⁡θ+3sin⁡θ)=23\rho(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta) = 2\sqrt{3},得:
2(cos⁡θ+3sin⁡θ)=23  ⟹  12cos⁡θ+32sin⁡θ=322(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta) = 2\sqrt{3} \implies \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2},
即 sin⁡(θ+π6)=32\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}。
因为 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right),所以 θ+π6∈(π6,2π3)\theta + \frac{\pi}{6} \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right)。
故 θ+π6=π3\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3},解得 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}。

2. 求点 $N$ 的极径及线段 $|MN|$ 的长

射线 OMOM 的极坐标方程为 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}(ρ>0\rho > 0)。
将 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} 代入曲线 CC 的极坐标方程 ρ=23cos⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\cos\theta,得点 NN 的极径:
ρN=23cos⁡π6=23⋅32=3\rho_N = 2\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3。
因为点 MM 与点 NN 均在射线 θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} 上,极径分别为 ρM=2\rho_M = 2 和 ρN=3\rho_N = 3,
所以 ∣MN∣=∣ρN−ρM∣=∣3−2∣=1|MN| = |\rho_N - \rho_M| = |3 - 2| = 1。

答案

∣MN∣=1|MN| = 1

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