下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行; 其中错误的命题有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

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完整解法

1. 分析命题①的真假

对于命题①:“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”。
在空间中,垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面。例如,在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,棱 AB⊥AA1AB \perp AA_1,AD⊥AA1AD \perp AA_1,但 ABAB 与 ADAD 相交,不平行。因此,命题①错误。

2. 分析命题②的真假

对于命题②:“垂直于同一个平面的两条直线相互平行”。
根据空间中线面垂直的性质定理:若两条直线都垂直于同一个平面,则这两条直线平行。即若 a⊥αa \perp \alpha 且 b⊥αb \perp \alpha,则 a∥ba \parallel b。因此,命题②正确。

3. 分析命题③的真假

对于命题③:“垂直于同一条直线的两个平面相互平行”。
根据空间中面面平行的判定定理:垂直于同一条直线的两个平面相互平行。即若 α⊥l\alpha \perp l 且 β⊥l\beta \perp l,则 α∥β\alpha \parallel \beta。因此,命题③正确。

4. 分析命题④的真假

对于命题④:“垂直于同一个平面的两个平面相互平行”。
在空间中,垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交。例如,在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,侧面 ABB1A1⊥ABB_1A_1 \perp 底面 ABCDABCD,侧面 BCC1B1⊥BCC_1B_1 \perp 底面 ABCDABCD,但这两个侧面相交且垂直,并不平行。因此,命题④错误。

5. 统计错误命题并确定选项

综上所述,错误的命题有①和④,共2个。
所以错误的命题个数为2,选项为B。

答案

B

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