已知集合 $A = \{2, a+1\}$，集合 $B = \{b, 3\}$．若 $A = B$，求实数 $a, b$ 的值及 $a + b$ 的值．

1. 根据集合相等的定义求出实数 $a$ 与 $b$ 的值

因为 $A = B$，所以集合 $A$ 与集合 $B$ 所含的元素完全相同。
已知 $2 \in A$，则必有 $2 \in B$，因此 $b = 2$．
同理 $3 \in B$，则必有 $3 \in A$，因此 $a + 1 = 3$，解得 $a = 2$．
检验：当 $a = 2, b = 2$ 时，$A = \{2, 3\}$，$B = \{2, 3\}$，符合集合中元素的互异性与相等关系。

2. 计算 $a + b$ 的值

将 $a = 2$ 和 $b = 2$ 代入可得：
$a + b = 2 + 2 = 4$