(1)计算:83−(π−3)0+(12)−1+∣2−1∣ \sqrt[3]{8}-(π-3)^{0}+( \dfrac {1}{2})^{-1}+| \sqrt {2}-1|. (2)化简:(x2x−2−4x−2)⋅1x2+2x( \dfrac {x^{2}}{x-2}- \dfrac {4}{x-2})⋅ \dfrac {1}{x^{2}+2x}.

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完整解法

(1)

1. 计算每一项的值

根据实数的相关运算法则分别计算各部分的值:

  • 立方根:83=2\sqrt[3]{8} = 2
  • 零指数幂:(π−3)0=1(\pi-3)^{0} = 1
  • 负整数指数幂:(12)−1=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2
  • 绝对值:因为 2>1\sqrt{2} > 1,所以 ∣2−1∣=2−1|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1

2. 代入并求出最后结果

将各部分的值代入原式并计算:
原式=2−1+2+(2−1)=2+2\text{原式} = 2 - 1 + 2 + (\sqrt{2} - 1) = 2 + \sqrt{2}

答案

2+22 + \sqrt{2}

(2)

1. 计算括号内的同分母分式相减

由于括号内的两个分式分母相同,直接将分子相减:
x2x−2−4x−2=x2−4x−2\dfrac{x^{2}}{x-2} - \dfrac{4}{x-2} = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}

2. 对分子和分母进行因式分解

利用平方差公式分解 x2−4x^{2}-4,利用提公因式法分解 x2+2xx^{2}+2x:
x2−4=(x−2)(x+2)x^{2}-4 = (x-2)(x+2)
x2+2x=x(x+2)x^{2}+2x = x(x+2)

3. 进行分式乘法并约分化简

将因式分解后的式子代入并进行约分:
原式=(x+2)(x−2)x−2⋅1x(x+2)=(x+2)⋅1x(x+2)=1x\text{原式} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} \cdot \dfrac{1}{x(x+2)} = (x+2) \cdot \dfrac{1}{x(x+2)} = \dfrac{1}{x}

答案

1x\dfrac{1}{x}

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