已知函数$f(x)$的定义域为$[0,2]$，则“$f(0)< f(2)$”是“$f(x)$在定义域上是增函数”的$(\quad)$

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

1. 分析充分性是否成立

首先判断充分性：若 "$f(0) < f(2)$"，我们尝试说明 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上不一定是增函数。
可以构造一个反例：设函数 $f(x) = \begin{cases} 2-x, & 0 \leqslant x < 1 \\ 2x, & 1 \leqslant x \leqslant 2 \end{cases}$，其定义域为 $[0,2]$。
此时 $f(0) = 2$，$f(2) = 4$，显然满足 $f(0) < f(2)$。
但是在区间 $[0,1)$ 上，函数 $f(x) = 2-x$ 是单调递减的，因此 $f(x)$ 在整个定义域 $[0,2]$ 上并不是增函数。
所以，由 "$f(0) < f(2)$" 推不出 "$f(x)$ 在定义域上是增函数"，即充分性不成立。

2. 分析必要性是否成立

再判断必要性：若 "$f(x)$ 在定义域 $[0,2]$ 上是增函数"。
根据增函数的定义，对于定义域内的任意 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$。
因为 $0 < 2$ 且 $0, 2 \in [0,2]$，所以必有 $f(0) < f(2)$ 成立。
所以，由 "$f(x)$ 在定义域上是增函数" 可以推出 "$f(0) < f(2)$"，即必要性成立。

3. 综合得出结论

综上所述，"$f(0) < f(2)$" 是 "$f(x)$ 在定义域上是增函数" 的必要不充分条件。
因此，正确答案为 B。