(1)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． $\begin{cases}4x\leqslant 2(x+3) \\ \dfrac{1}{2}x-1 > - \dfrac{3}{2}x\end{cases} (2)$先化简，再求值：${{\left( \dfrac{2a{{b}^{2}}}{a+b} \right)}^{3}}\div {{\left( \dfrac{a{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)}^{2}}\cdot {{\left[ \dfrac{1}{2(a-b)} \right]}^{2}}$，其中$a=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{2}{3}$．

1. 解第一个一元一次不等式

解不等式 $4x \leqslant 2(x+3)$：
去括号，得：$4x \leqslant 2x + 6$，
移项并合并同类项，得：$2x \leqslant 6$，
两边同除以 $2$，得：$x \leqslant 3$。

2. 解第二个一元一次不等式

解不等式 $\dfrac{1}{2}x - 1 > - \dfrac{3}{2}x$：
两边同乘以 $2$，得：$x - 2 > -3x$，
移项并合并同类项，得：$4x > 2$，
系数化为1，得：$x > \dfrac{1}{2}$。

3. 确定不等式组的解集并在数轴上表示

综合以上两个不等式的解集，原不等式组的解集为：$\dfrac{1}{2} < x \leqslant 3$。
在数轴上表示该解集时，$\dfrac{1}{2}$ 对应的值用空心圆圈表示，$3$ 对应的值用实心圆点表示，它们之间的部分用折线相连。

1. 对各项进行乘方运算并因式分解分母

对原式中的各项先进行乘方运算，并将 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ 利用平方差公式因式分解：
${{\left( \dfrac{2a{{b}^{2}}}{a+b} \right)}^{3}} = \dfrac{8a^3 b^6}{(a+b)^3}$
${{\left( \dfrac{a{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)}^{2}} = {{\left[ \dfrac{a{{b}^{3}}}{(a+b)(a-b)} \right]}^{2}} = \dfrac{a^2 b^6}{(a+b)^2 (a-b)^2}$
${{\left[ \dfrac{1}{2(a-b)} \right]}^{2}} = \dfrac{1}{4(a-b)^2}$

2. 进行分式的乘除运算并化简

原式转化为：
$\text{原式} = \dfrac{8a^3 b^6}{(a+b)^3} \div \dfrac{a^2 b^6}{(a+b)^2 (a-b)^2} \cdot \dfrac{1}{4(a-b)^2}$
$= \dfrac{8a^3 b^6}{(a+b)^3} \cdot \dfrac{(a+b)^2 (a-b)^2}{a^2 b^6} \cdot \dfrac{1}{4(a-b)^2}$
$= \dfrac{8a^3 b^6 (a+b)^2 (a-b)^2}{4 a^2 b^6 (a+b)^3 (a-b)^2}$
约分消去相同因式 $4 a^2 b^6 (a+b)^2 (a-b)^2$，得：
$\text{原式} = \dfrac{2a}{a+b}$

3. 代入已知数值计算结果

当 $a=-\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{2}{3}$ 时，代入化简后的式子：
$\text{原式} = \dfrac{2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)}{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}} = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{6}} = -6$