若 $A = n^2 + 10$，$B = n + 1$，$n$ 是自然数，那么 $A, B$ 的最大公约数可能值有 ___ 个，最大的是 ___。

1. 用辗转相除思想将式子除以 $n+1$ 得到常数余数

由多项式带余除法可得：
$A = n^2 + 10 = (n^2 - 1) + 11 = (n + 1)(n - 1) + 11$
根据最大公约数的性质（辗转相除法原理）：
$\gcd(A, B) = \gcd(n^2 + 10, n + 1) = \gcd((n + 1)(n - 1) + 11, n + 1) = \gcd(11, n + 1)$

2. 分析最大公因数的可能值并验证存在性

因为 $11$ 是质数，所以 $\gcd(11, n + 1)$ 只能是 $11$ 的正因数，即只能为 $1$ 或 $11$。
验证存在性：

• 当 $n = 0$ 时，$B = 1$，$A = 10$，$\gcd(10, 1) = 1$；
• 当 $n = 10$ 时，$B = 11$，$A = 110$，$\gcd(110, 11) = 11$。
  两种情况均有对应的自然数 $n$ 存在。
  因此，可能值共有 $2$ 个，其中最大的是 $11$。