观察下列含有规律的式子：①．$\sqrt[] { 1+\frac { 1 } { 3 } }=2\sqrt[] { \frac { 1 } { 3 } }$，②．$\sqrt[] { 2+\frac { 1 } { 4 } }=3\sqrt[] { \frac { 1 } { 4 } }$，③．$\sqrt[] { 3+\frac { 1 } { 5 } }=4\sqrt[] { \frac { 1 } { 5 } }$，…根据你发现的规律，完成下面各题： （1）按照这个规律，写出第④个式子： ； （2）若式子$\sqrt[] { a+\frac { 1 } { b } }=8\sqrt[] { \frac { 1 } { b } }$（$a､b$为正整数）符合以上规律，则$\sqrt[] { a+b }=$ ； （3）请你用含有正整数$n$的式子，表示出你所发现的规律： ； （4）请你通过计算，验证：当$n=20$时，对应的式子是正确的．

1. 观察前三个等式，总结规律并写出第四个等式

观察已知等式：
① $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$
② $\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$
③ $\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$
由此可知，第 $n$ 个等式左边根号下为 $n$ 加上 $n+2$ 的倒数，右边为 $n+1$ 乘以根号下 $n+2$ 的倒数。
当 $n=4$ 时，代入规律可得：
$\sqrt{4+\frac{1}{4+2}}=(4+1)\sqrt{\frac{1}{4+2}}$
即：
$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$

1. 根据规律确定 $a$ 和 $b$ 的值

由等式 $\sqrt{a+\frac{1}{b}}=8\sqrt{\frac{1}{b}}$ 结合所发现的规律可知：
右边的系数为 $n+1 = 8$，解得 $n = 7$。
因此左边根号下的整数部分 $a = n = 7$；
分母 $b = n+2 = 7+2 = 9$。

2. 计算目标算术平方根的值

将 $a=7, b=9$ 代入目标式中：
$\sqrt{a+b} = \sqrt{7+9} = \sqrt{16} = 4$

1. 用含有正整数 $n$ 的式子表示出该规律

分析前几个式子的对应关系：
当序号为 $n$ 时：
左边根号下的数是 $n + \frac{1}{n+2}$；
右边对应的式子是 $(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
故发现的规律用含正整数 $n$ 的式子表示为：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$

1. 写出 $n=20$ 时的具体等式

当 $n=20$ 时，对应的式子为：
$\sqrt{20+\frac{1}{22}}=21\sqrt{\frac{1}{22}}$

2. 通过计算分别化简左边和右边以完成验证

左边 = $\sqrt{20+\frac{1}{22}} = \sqrt{\frac{20 \times 22 + 1}{22}} = \sqrt{\frac{440 + 1}{22}} = \sqrt{\frac{441}{22}}$。
右边 = $21\sqrt{\frac{1}{22}} = \sqrt{21^2 \times \frac{1}{22}} = \sqrt{\frac{441}{22}}$。
因为 左边 = 右边，所以当 $n=20$ 时，对应的式子是正确的。