若关于$x$的分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{m}{x}$有正整数解，则整数$m$的值是 ___.

1. 解分式方程，用含 $m$ 的代数式表示 $x$

方程两边同乘 $x(x-1)$，得：
$2x = m(x-1)$
去括号并整理得：
$(m-2)x = m$
当 $m \neq 2$ 时，解得：
$x = \dfrac{m}{m-2}$

2. 根据 $x$ 是正整数的条件，确定整数 $m$ 的可能取值并检验增根

将 $x = \dfrac{m}{m-2}$ 变形为：
$x = 1 + \dfrac{2}{m-2}$
因为方程有正整数解，所以 $x$ 必须是正整数。
要使 $x$ 为整数，则 $m-2$ 必须是 $2$ 的因数，即 $m-2$ 的可能取值为 $-2, -1, 1, 2$。

• 当 $m-2 = -2$ 时，$m = 0$，此时 $x = 0$，不满足 $x$ 是正整数，且此时分母 $x = 0$ 无意义，舍去；
• 当 $m-2 = -1$ 时，$m = 1$，此时 $x = -1$，不满足 $x$ 是正整数，舍去；
• 当 $m-2 = 1$ 时，$m = 3$，此时 $x = 3$，是正整数，且分母 $x \neq 0$ 且 $x-1 = 2 \neq 0$，满足题意；
• 当 $m-2 = 2$ 时，$m = 4$，此时 $x = 2$，是正整数，且分母 $x \neq 0$ 且 $x-1 = 1 \neq 0$，满足题意。
  综上所述，整数 $m$ 的值是 $3$ 或 $4$。