已知函数$f(x)=3x^{3}-ax^{2}+x-5$在区间$[1,2]$上单调递增，则$a$的取值范围是$()$

A. $(-∞,5]$

B. $(-∞,5)$

C. $(-∞, \dfrac {37}{4}]$

D. $(-∞,3]$

1. 对函数 $f(x)$ 进行求导

已知函数为 $f(x) = 3x^3 - ax^2 + x - 5$，对其求导得：
$f'(x) = 9x^2 - 2ax + 1$

2. 利用单调性与导数的关系转化为恒成立问题

因为 $f(x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增，所以在该区间上其导数恒大于或等于 $0$，即：
$f'(x) = 9x^2 - 2ax + 1 \ge 0 \quad \text{对 } x \in [1, 2] \text{ 恒成立}$

3. 分离参数 $a$，转化为求函数最值问题

因为 $x \in [1, 2]$，所以 $x > 0$，可将不等式变形为：
$2ax \le 9x^2 + 1 \implies a \le \frac{9x^2 + 1}{2x}$
设 $g(x) = \frac{9x^2 + 1}{2x} = \frac{9}{2}x + \frac{1}{2x}$，则要使不等式在 $[1, 2]$ 上恒成立，只需：
$a \le g(x)_{\min} \quad (x \in [1, 2])$

4. 求出新函数在区间上的最小值并得出 $a$ 的取值范围

利用对勾函数的性质可知，函数 $g(x) = \frac{9}{2}x + \frac{1}{2x}$ 在区间 $\left[\frac{1}{3}, +\infty\right)$ 上单调递增。
由于 $[1, 2] \subseteq \left[\frac{1}{3}, +\infty\right)$，所以 $g(x)$ 在 $[1, 2]$ 上也是单调递增的。
因此，当 $x = 1$ 时，$g(x)$ 取得最小值，最小值为：
$g(1) = \frac{9(1)^2 + 1}{2(1)} = 5$
所以有 $a \le 5$，即 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 5]$。
对照选项，A符合题意。