如图，在直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC$, $D$ 是 $AB$ 的中点，$P$ 是 $\triangle ACD$ 内一点，连接 $PA, PB, PC, PD$，$PC = 1, PD = 2, PA = 3$。

1. 构造旋转全等三角形转化已知线段

在等腰直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，
因此 $CD \perp AB$，$AD = CD$，且 $\angle ADC = 90^\circ$。
将 $\triangle DPA$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle DP'C$，连接 $PP'$。
由旋转的性质可知：
$DP' = DP = 2,\quad P'C = PA = 3,\quad \angle PDP' = \angle ADC = 90^\circ$

2. 在构造的等腰直角三角形中求出 $PP'$ 与角度

在 $\text{Rt}\triangle PDP'$ 中，$\angle PDP' = 90^\circ$，$DP = DP' = 2$：
$PP' = \sqrt{DP^2 + DP'^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$
$\angle DPP' = 45^\circ$

3. 利用勾股定理逆定理求 $\angle CPD$ 的度数

在 $\triangle CPP'$ 中：
$PC = 1,\quad PP' = 2\sqrt{2},\quad P'C = 3$
计算各边平方：
$PC^2 + PP'^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$
$P'C^2 = 3^2 = 9$
因为 $PC^2 + PP'^2 = P'C^2$，所以由勾股定理逆定理得：
$\angle CPP' = 90^\circ$
因此：
$\angle CPD = \angle CPP' + \angle DPP' = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$

1. 在 $\triangle CPD$ 中利用余弦定理求 $CD^2$

在 $\triangle CPD$ 中，已知 $PC = 1$，$PD = 2$，由第（1）问得 $\angle CPD = 135^\circ$。
由余弦定理：
$CD^2 = PC^2 + PD^2 - 2 \cdot PC \cdot PD \cos\angle CPD$
$CD^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \times 1 \times 2 \times \cos 135^\circ = 5 - 4 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 + 2\sqrt{2}$

2. 利用直角三角形性质得到 $BD^2$

因为 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$ 为斜边 $AB$ 的中点，
所以 $AD = BD = CD$。
故：
$BD^2 = AD^2 = CD^2 = 5 + 2\sqrt{2}$

3. 列出关系式求 $PB^2$

在 $\triangle PAB$ 中，$D$ 为 $AB$ 中点，$\angle PDA + \angle PDB = 180^\circ$，故 $\cos\angle PDB = -\cos\angle PDA$。
在 $\triangle PDA$ 与 $\triangle PDB$ 中分别应用余弦定理：
$PA^2 = PD^2 + AD^2 - 2 PD \cdot AD \cos\angle PDA$
$PB^2 = PD^2 + BD^2 - 2 PD \cdot BD \cos\angle PDB = PD^2 + AD^2 + 2 PD \cdot AD \cos\angle PDA$
两式相加得中线定理：
$PA^2 + PB^2 = 2(PD^2 + BD^2)$
将 $PA = 3$，$PD = 2$，$BD^2 = 5 + 2\sqrt{2}$ 代入：
$3^2 + PB^2 = 2(2^2 + 5 + 2\sqrt{2})$
$9 + PB^2 = 2(9 + 2\sqrt{2}) = 18 + 4\sqrt{2}$
$PB^2 = 9 + 4\sqrt{2}$

4. 对二次双重根式化简求出 $PB$

由于 $PB > 0$：
$PB = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2 \times 1 \times 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} = 1 + 2\sqrt{2}$